最后更新: 2025-10-16 10:07 查看: 298 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录2：整除、同余、素数(质数)与合数

整除是两个整数之间的一种关系，它是数论中的最基本概念。

## 整除

设 $a, b \in \mathbb{Z}$ 且 $b \neq 0$ ，如果存在 $c \in \mathbb{Z}$ ，使得 $a=b c$ 我们就称 $b$ 整除（divide） $a$ ，记作 $b \mid a$ 。此时我们也称 $b$ 是 $a$ 的一个因子 (或约数， divisor)， $a$ 是 $b$ 的倍数 (multiple)。

如果满足上述条件的 $c$ 不存在，则称 $b$ 不整除 $a$ ，记作 $b \nmid a$ 。
例如， $2|4,(-5)| 15,3 \nmid 5$ 等等。
特别地， $\forall a \in \mathbb{Z}, 1 \mid a ，$ 且 $\forall b \in \mathbb{Z}-\{0\}, b \mid 0$.

一些整数整除的特征见整除的特征。

### 基本性质

设下列各条件均有意义，则

1. 传递性: $a|b, b| c \Longrightarrow a \mid c$;
2. $a|b, b| a \Longrightarrow a= \pm b$;
3. $a|b, a| c \Longrightarrow a \mid b x+c y, \forall x, y \in \mathbb{Z}$.

### 环上的整除

设 $R$ 是交换环， $a, b \in R$ ，如果存在 $c \in R$ 使得 $a=b c$ ，我们就说 $b$ 整除 $a$ ，记作 $b \mid a$ ，同时称 $b$ 是 $a$ 的因子， $a$ 是 $b$ 的倍数。如果不存在这样的 $c$ ，我们就说 $b \nmid a$.

如果 $b|a, a| b$ ，我们就说 $a, b$ 是相伴的 (associates)，常记作 $a \sim b$ ，它是一种等价关系。可以证明，整环中两个非零元 $a, b$ 相伴当且仅当存在单位 $u \in R$ (即满足存在 $v$ 使得 $u v=v u=1$ ) 使得 $b=a u$.

和单位元 1 相伴的元素是 $R$ 上的单位 (unit)，即 $1 \sim u$ ，这里 $u$ 满足: 存在 $v$ 使得 $u v=v u=1$.

同余是初等数论里的一个重要的概念，关于代数系统之间的同余，详见代数同余。

## 同余概念

若两个数 $a$ 与 $b$ 除以 $m$ 的余数相同，或说 $a-b$ 可被 $m$ 整除，则说 $a$ 与 $b$ 同余于 $m$ 或

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