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初等数论
同余
最后更新:
2023-10-24 14:05
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同余
同余是初等数论里的一个重要的概念,关于代数系统之间的同余,详见代数同余。 ## 概念 若两个数 $a$ 与 $b$ 除以 $m$ 的余数相同,或说 $a-b$ 可被 $m$ 整除,则说 $a$ 与 $b$ 同余于 $m$ 或 $a$ 等于 $b$ 模 $m$ 。 一般将“ $a$ 与 $b$ 同余于 $m$ "记作 $a \equiv b \quad(\bmod m)$ 且有 $a \equiv b \quad(\bmod m) \Longleftrightarrow m \mid a-b$ ,而 $a \neq \equiv \quad(\bmod m) \Longleftrightarrow m \nmid a-b$ 除整数集合外,所有整系数多项式所组成的集合,亦有类似整数的同余存在。 ## 性质 - 同余是一个等价关系,是因为它有: 1. 自反性, $a \equiv a(\bmod m)$; 2. 对称性, $a \equiv b \quad(\bmod m) \Longleftrightarrow b \equiv a \quad(\bmod m)$; 3. 传递性: $a \equiv b \quad(\bmod m) \& b \equiv c \quad(\bmod m) \Longrightarrow a \equiv c(\bmod m)$. - 同余式运算有像通常等式那样类似的加减乘运算: 1. 若 $a \equiv c \quad(\bmod m)$ 且 $b \equiv d \quad(\bmod m)$ ,则 $(a \pm b) \equiv(c \pm d) \quad(\bmod m)$ 且 $a b \equiv c d \quad(\bmod m)$ ; 2. 若 $a c \equiv b c \quad(\bmod m)$ 则 $a \equiv b \quad\left(\bmod \frac{m}{(c, m)}\right)$ ,特别地, $(c, m)=1$ ,则 $a \equiv b \quad(\bmod m)$ ; - 若 $(a, m)=1$ ,则存在一数 $c$ ,使得 $c a \equiv 1 \quad(\bmod m)$ ; - 若 $a \equiv b \quad(\bmod m)$ ,则 $\forall d: d \mid m, a \equiv b \quad(\bmod d)$ ; - 若 $d>0$ ,则 $a \equiv b \quad(\bmod m) \Longleftrightarrow a d \equiv b d \quad(\bmod m d)$ ; - 若 $a \equiv b \quad\left(\bmod m_i\right), 1 \leqslant i \leqslant n$ ,则 $a \equiv b \quad\left(\bmod \left[m_1, m_2, \cdots, m_n\right]\right)$ 。 - ## 推论 设 $f(x)$ 是整系数多项式,如果 $a \equiv b(\bmod m)$ ,则 $f(a) \equiv f(b) \quad(\bmod m)$ 。
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