最后更新: 2025-10-15 07:22 查看: 150 次纠错评论(0) 课件开VIP

引言：数论概述

在人类智慧的长河中，数论以其无与伦比的纯粹与深邃，始终占据着王冠上的明珠之位。它源于最原始的计数冲动，却通向宇宙最幽微的奥秘。高斯曾言：“**数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。**” 这不仅是对其地位的肯定，更是对其独特气质的描绘——她高贵，因为她提出的问题往往简单到连孩童都能理解；她神秘，因为这些问题背后所隐藏的规律，足以让最杰出的头脑穷尽一生去探索。

从古希腊的毕达哥拉斯审视“万物皆数”，到欧几里得对素数无穷的优雅证明；从费马在书页边角写下的、挑战世界三个世纪的猜想，到欧拉与高斯为其建立起系统的分析方法；直至今日，黎曼猜想悬而未决，密码学因之而固，计算机科学因之而进——数论的历史，正是一部人类理性不断向未知领域开拓的壮丽史诗。

> **数论，是数学中历史悠久但又有生命力的分支，很有趣味也很艰深。数论有分初等数论、代数数论、解析数论，目的是通过各种视角来研究什么是“数”,数又有什么性质。**

**初等数论**主要用初等的方法讨论整数的性质，如同余方程、不定方程、二次剩余等。 
**代数数论**是讨论代数数的分支，要使用很深的代数工具。近年来，代数数论和代数几何合起来形成了一门称为**算术几何的新分支**。

**解析数论**则是用数学分析和复变函数论来研究数论的问题，当今数学中第一号未解决问题**黎曼猜想**就属于解析数论的范围。

在初高中了解一些数论是好的，在大学本科阶段学习一些数论是有用的，特别对学习抽象代数有很大帮助。研究生阶段一般只有数论专业的学生才学数论。

### 初等数论
初等数论主要包括整除、同余定理、不定方程等，适合面向初高中生学习，初等数论主要研究的是整数，比如我们把整数分为偶数和奇数，或者把整数分类为质数和素数，这样，通过分类研究整数，就会得到不同的整数的性质。初等数论充分使用了余数的性质，例如 13除以7为6，如果我们把这里的7当做星期，就会得到有趣的结论，例如下面的例题
今天为星期日, 过 $2004^{2004}$ 天后的今天是星期几?
分析: $2004^{2004}$ 这个数很大, 我们很难直接判断 7 除 $2004^{2004}$ 的余数是几. 现在, 我们想办法把 $2004^{2004}$ 变小. 一个自然的考虑是 7 除底数 2004 的余数是几, 利用这个余数替换底数 2004 , 然后降次, 反复进行这个过程, 直至去掉指数.
解: 因为 $2004=7 \times 286+2$, 所以 $2004 \equiv 2(\bmod 7)$.
由同余的性质, 有

$$
2004^{2004} \equiv 2^{2004}(\bmod 7),
$$

而 $2^{2004}=8^{668}$, 所以 $2^{2004} \equiv 8^{668}(\bmod 7)$.
又因为 $8 \equiv 1(\bmod 7)$, 所以 $8^{668} \equiv 1^{668}=1(\bmod 7)$.
因此 $2004^{2004} \equiv 1(\bmod 7)$, 即 7 除 $2004^{2004}$ 的余数为 1 , 所以过 $2004^{2004}$ 天后的今天是星期一.
 
 这会在 [初等数论入门](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=793) 的 同余的性质里介绍。

### 代数数论
在实数域中，线性方程 $a x=b$ ，只要 $a \neq 0$ ，那么总有唯一解 $x=a^{-1} b$ 。
在整数环中，方程 $a x=b$ 只有当 $b$ 是 $a$ 的倍数时才有解，这使得原本很简单的解方程问题变得光怪陆离。

比如方程 $4 y^2=x^3+17$ ，你在实数域里就直接 $y=\sqrt{\frac{x^3+17}{4}}$ 就完事了。
但是在整数环，你既没法定义除法也没法定义开根，你该怎么做？

左边的 $y^2$ 是一个乘法形式 $y \times y$ ，而右边 $x^3+17$ 是一个加法形式。
加法和乘法混在一起，非常棘手，代数学家最喜欢的操作就是把所有东西都变成乘法。
毕竟素数是用来乘的，不是用来加的。
代数学家想，我们为啥不引入一个虚构的素数 $a \pm b \sqrt{-17}$ 呢？
那么 $4 y^2-17$ 就可以像平方差公式一样被分解：$x^3=(2 y+\sqrt{-17})(2 y-\sqrt{-17})$ 。
这样一来一个关于 $Z$ 上整数和问题，不就转化为了一个在新数系 $Z [\sqrt{-17}]$ 中的纯乘法问题了吗？

理想很美好，现实很骨感。
代数学家搞了半天发现，其实整数环 $Z$ 的性质算好的了， $Z [\sqrt{-17}]$ 更加崩坏，里面的因子甚至没法分解成唯一的素数乘积。

经过多年的探索，戴德金提出了理想和类数  。
虽然数的分解不唯一，但如果把研究对象从数提升到由数生成的理想集合，那么理想的分解是唯一的。

而类数（Class Number）则衡量了一个环的唯一分解性崩坏的程度。
如果类数是 1 ，那么这个环就是唯一分解环（UFD）。
代数数论的补天之路失败了，但是至少知道了怎么把更差的环修补的和整数环一样。 详细请参考 高等代数里的 [有理数环](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3485)

### 解析数论 
解析数论补天的方式是将离散的信息编码进一个连续的分析对象中。
一串离散的、看似毫无规律的数字 $a_0, a_1, a_2, \ldots$ ，你怎么用微积分研究它的性质呢？
一个天才的想法就是，把这串数字当作一个幂级数的系数：

$$
f(x)=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n
$$

这就把对离散数列 $\left\{a_n\right\}$ 的研究，转化为了对一个连续函数 $f(x)$ 的研究，它用一种连续的形式，把所有关于 $\left\{a_n\right\}$ 的信息都编码了进去。

在解析数论中，最常用的编码工具就是[黎曼Zeta函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=3281) ，根据欧拉乘积公式：

$$
\begin{aligned}
\zeta(s) & =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\ldots \\
& =\prod_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1-p_n^{-s}}=\left(\frac{1}{1-2^{-s}}\right)\left(\frac{1}{1-3^{-s}}\right)\left(\frac{1}{1-5^{-s}}\right) \ldots
\end{aligned}
$$

把乘积中的每一项用几何级数展开，再把它们全部相乘，每一项 $1 / n^s$ 都会因为唯一的素数分解而不多不少恰好出现一次。

这个恒等式就是连接所有整数和所有素数的核心，本质上是算术基本定理的表达。
一旦这个编码完成，奇迹就发生了：
1．离散对象的根本结构在一个连续函数的代数结构上复现
我们可以动用强大的微积分和复分析工具来研究 $\zeta(s)$
1．欧拉考察 $\zeta(s)$ 在 $s=1$ 时的行为，就直接证明了素数有无穷多个
2．黎曼猜想 $\zeta(s)$ 在复平面上非平凡零点的位置，直接决定了素数分布
黎曼猜想是整个解析数论最热门的方向，不过并不是唯一的方向，还有许多其他的编码方式，比如狄利克雷生成函数，圆法，筛法等等，对应不同的数论命题。

不过总的来说，就是建立一个离散数列和连续函数之间的编码，然后用微积分方法来研究数论问题

### 代数几何  
代数几何走了一条不同的补天之路，与其研究孤立的整数解，不如研究所有有理数解的整体结构。根据流派，又分为扩张法和折叠法。

#### 分式域 
扩展法将方程 $4 y^2=x^3+17$ 看作一个代数对象。
所有关于变量 $x, y$ 的、系数为有理数的多项式构成一个环 $Q [x, y]$ ，于是方程 $4 y^2-x^3-17=0$ 定义了这个环中的一个理想 $I=\left(4 y^2-x^3-17\right)$ 。：

考虑商环 $A= Q [x, y] / I$ ，这个环 $A$ 被称为该代数曲线的坐标环，它由所有定义在曲线上的多项式函数构成的集合。

对于 $4 y^2=x^3+17$ ，可以证明 $A$ 是一个整环，环中没有零因子。
整环虽然比一般的环性质要好，但仍然不是域。

好在对于任何一个整环 $A$ ，我们都可以通过形式化地引入分母来将其修复成一个域。
不妨构造一个包含所有形如 $\frac{f}{g}$ 的元素的新集合，其中 $f, g \in A$ 且 $g \neq 0$ 。
在这个集合上定义恰当的加法和乘法运算，我们就得到了 $A$ 的分式域 $K(A)$ ，这个 $K(A)$ 就是该代数曲线的函数域。

函数域是一个真正的域，其中每一个曲线上的有理函数都有乘法逆元。
在这一视角下，我们不再仅仅将 $x, y$ 视为待定的整数，而是将其视为函数域 $K(A)$ 中的元素。
我们可以调用域论和复分析中的强大工具来研究这些函数，函数域 $K(A)$ 的超越次数等不变量，定义了代数曲线的维数和亏格。

进而直接获取解的信息。

#### 有限域 
折叠法是另一种补天路线，无限环 $Z$ 上为什么难以处理，因为无限。
那要是可以折叠成一个有限域呢？
通过模 $p$ 运算，可以将无限的整数环 $Z$ 折置成一系列完美的有限域 $F _p$ 。
这样就将一个困难的非线性问题，分解成一系列在有限域上可以简单计算的线性代数问题。
最后通过整合所有这些局部信息，来反推出关于原始全局问题的答案。

不妨选择一个素数 $p$ ，然后将整个方程投影到模 $p$ 的世界中。
整数环 $Z$ 在这个投影下，变成了一个只有 $p$ 个元素的集合 $\{0,1, \ldots, p-1\}$ 。
这个集合连同其上的模 $p$ 加法和乘法，构成了一个有限域 $F _p$ 。
这是一个完美的域，对于任何非零元素 $a \in F _p$ ，都存在唯一的乘法逆元 $a^{-1}$ 。

我们的方程 $4 y^2=x^3+17$ 在 $F _5$ 中变成了：

$$
\begin{aligned}
& 4 y^2 \equiv x^3+17(\bmod 5) \\
& 4 y^2 \equiv x^3+2(\bmod 5)
\end{aligned}
$$

在有限域 $F _5$ 中寻找解 $(x, y)$ ，这太简单了，因为我们现在只需要检验 $5 \times 5=25$ 种可能性就行了。

如果原始方程在 $Z$ 中有解 $\left(x_0, y_0\right)$ ，那么 $\left(x_0(\bmod p), y_0(\bmod p)\right)$ 必然是模 $p$ 方程的一个解。

不过反之不一定成立，看起来没啥用？
实则不然，这个过程给我们提供了很多强大的信息。
如果在某个素数 $p$ 下，模 $p$ 方程无解，那么原始的丢番图方程一定无解。
这是一个强有力的筛选工具。

我们可以对所有素数 $p$ 进行这个操作，并计算出每个有限域 $F _p$ 上的解的个数 $N_p$ 。
这个数列 $N_2, N_3, N_5, N_7, \ldots$ 并非杂乱无章，它实际上蕴含了关于原始曲线几何结构最深刻的信息。

我们可以将这些局部信息打包成 Hasse－Weil L－函数 ${ }^{+}$：

$$
\begin{aligned}
L(E, s) & =\prod_p \frac{1}{1-a_p p^{-s}+p^{1-2 s}} \\
a_p & =p+1-N_p
\end{aligned}
$$

分析函数的各类解析性质可以透射出原始代数曲线的有理点群的结构，不过这里面还有很多猜想，算是现在最前沿的领域之一。

本站来源：[酱紫君](https://www.zhihu.com/question/23252228/answer/1933128964911654627)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：没有了

下一篇：序言：我们为什么研究素数

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)