最后更新: 2025-10-15 07:22 查看: 77 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

引言：数论概述

在人类智慧的长河中，数论以其无与伦比的纯粹与深邃，始终占据着王冠上的明珠之位。它源于最原始的计数冲动，却通向宇宙最幽微的奥秘。高斯曾言：“**数学是科学的皇后，数论是数学的皇冠。**” 这不仅是对其地位的肯定，更是对其独特气质的描绘——她高贵，因为她提出的问题往往简单到连孩童都能理解；她神秘，因为这些问题背后所隐藏的规律，足以让最杰出的头脑穷尽一生去探索。

从古希腊的毕达哥拉斯审视“万物皆数”，到欧几里得对素数无穷的优雅证明；从费马在书页边角写下的、挑战世界三个世纪的猜想，到欧拉与高斯为其建立起系统的分析方法；直至今日，黎曼猜想悬而未决，密码学因之而固，计算机科学因之而进——数论的历史，正是一部人类理性不断向未知领域开拓的壮丽史诗。

> **数论，是数学中历史悠久但又有生命力的分支，很有趣味也很艰深。数论有分初等数论、代数数论、解析数论，目的是通过各种视角来研究什么是“数”,数又有什么性质。**

**初等数论**主要用初等的方法讨论整数的性质，如同余方程、不定方程、二次剩余等。 
**代数数论**是讨论代数数的分支，要使用很深的代数工具。近年来，代数数论和代数几何合起来形成了一门称为**算术几何的新分支**。

**解析数论**则是用数学分析和复变函数论来研究数论的问题，当今数学中第一号未解决问题**黎曼猜想**就属于解析数论的范围。

在初高中了解一些数论是好的，在大学本科阶段学习一些数论是有用的，特别对学习抽象代数有很大帮助。研究生阶段一般只有数论专业的学生才学数论。

### 初等数论
初等数论主要包括整除、同余定理、不定方程等，适合面向初高中生学习，初等数论主要研究的是整数，比如我们把整数分为偶数和奇数，或者把整数分类为质数和素数，这样，通过分类研究整数，就会得到不同的整数的性质。初等数论充分使用了余数的性质，例如 13除以7为6，如果我们把这里的7当做星期，就会得到有趣的结论，例如下面的例题
今天为星期日, 过 $2004^{2004}$ 天后的今天是星期几?
分析: $2004^{2004}$ 这个数很大, 我们很难直接判断 7 除 $2004^{2004}$ 的余数是几. 现在, 我们想办法把 $2004^{2004}$ 变小. 一个自然的考虑是 7 除底数 2004 的余数是几, 利用这个余数替换底数 2004 , 然后降次, 反复进行这个过程, 直至去掉指数.
解: 因为 $2004=7 \times 286+2$, 所以 $2004 \equiv 2(\bmod 7)$.
由同余的性质, 有

$$
2004^{2004} \equiv 2^{2004}(\bmod 7),
$$

而 $2^{2004}=8^{668}$, 所以 $2^{2004} \equiv 8^{668}(\bmod 7)$.
又因为 $8 \equiv 1(\bmod 7)$, 所以 $8^{668} \equiv 1^{668}=1(\bmod 7)$.
因此 $2004^{2004} \equiv 1(\bmod 7)$, 即 7 除 $2004^{2004}$ 的余数为 1 , 所以过 $2004^{2004}$ 天后的今天是星期一.
 
 这会在 [初等数论入门](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=793) 的 同余的性质里介绍。

### 代数数论
在实数域中，线性方程 $a x=b$ ，只要 $a \neq 0$ ，那么总有唯一解 $x=a^{-1} b$ 。
在整数环中，方程 $a x=b$ 只有当 $b$ 是 $a$ 的倍数时才有解，这使得原本很简单的解方程问题变得光怪陆离。

比如方程 $4 y^2=x

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