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课外阅读：费马大定理

## 费马大定理
在勾股定理里，我们有
$$
a^2+b^2=c^2
$$

他有许多整数解 $a, b, c$ ．自然人们要问当指数 2 换成更大的整数时相应的方程是否有整数解．例如，方程

$$
a^3+b^3=c^3, \quad a^4+b^4=c^4 \quad \text { 与 } a^5+b^5=c^5
$$

**有非零整数解 $a, b, c$ 吗**？ 答案是否定的．在 1637 年前后，费马证明上述指数为 4 的方程没有解。在 18 和 19 世纪高斯与欧拉（Leonhard Euler）证明指数为 3 的方程没有解，狄利克雷与勒让德（Adrien Legendre）证明了 5 次方程没有解．$n \geqslant 3$ 时方程

$$
a^n+b^n=c^n
$$

没有正整数解的这个一般性结论被称为＂费马大定理＂。自费马在书的边沿写出如下断言以来的 350 多年里，人们对它痴迷到近乎疯狂的地步：

> 不可能将一个 3 次方分成两个 3 次方之和；一个 4 次方不可能写成两个 4 次方之和；一般地，任何高于 2 次的幂不可能写成两个同次幕之和。我已发现一个美妙的证明，这里空白太小写不下．

今天，几乎没有数学家相信费马给出过他的这个＂定理＂的有效证明，这个＂定理＂之所以被称为他的最后定理，是因为这是他最后一个未被证明的断言。费马大定理的历史令人着迷，许许多多的数学家为它作出了重要贡献。这方面一个简要的综述也够编本书了，但这不是本书的目标，所以我们只作一些简要的注记。

关于费马太定理最初的与特定指数．$n$ 的证明相对的一般结果之一由热尔曼于 1823 年给出．她证明 $p$ 与 $2 p+1$ 都是索数时方程 $a^p+b^p=c^p$ 没有 $p$ 。不整除积 $a b c$ 的整数解 $a, b, c$ 。接着，A．Wieferich 于 1909 年得到一个相似结果：如果 $2^p-2$ 不被 $p^2$ 整除，则相同结论成立． 19 世纪后半叶一批数学家（包括戴德金（Richard Dedekind），克罗内克（Leopold Kronecker），尤其是库默尔（Ernst Kummer））开创了被称为代数数论的数学新领域，并应用他们的理论证明了费马大定理对许多指数成立，虽然仅限于有限数目的指数。1985年，L．M．Adleman， D．R．Heath－Brown 与 E．Fouvry 使用改进的热尔曼判别法和艰深的解析估计证明了存在无穷多个素数 $p$ 使得 $a^p+b^p=c^p$ 没有解且 $p$ 不整除 $a b c$ ．

1986 年，弗雷（G．Frey）提出使用模（modularity）的概念研究费马问题的新思路．赛尔 （Jean－Pierre Serre）改进了弗雷的思路，随后里贝特（Ken Ribet）证明了如果模猜想是正确的，那么费马大定理是正确的。确切地说，里贝特证明了如果每条半稳定椭圆曲线 是模形式的 ，则费马大定理成立。模猜想断言每条有理椭圆曲线是模形式的，这是由志村五郎 （Goro Shimura）与谷山丰（Yutaka Taniyama）提出的猜想。最后，在1994年怀尔斯发表了每条半稳定有理椭圆曲线可模形式化的证明，从而完成了已有 350 年之久的费马断言的证明．怀尔斯的证明应用了现代数论与代数几何中许多深刻的结果与方法，其证明过程太复杂，不能在此详细叙述，.

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