科数网
学习首页
高中数学
高中物理
微积分
线性代数
概率论
赞助
在线教程
初等数论
初等数论
费马小定理
最后更新:
2023-10-24 14:07
查看:
183
次
下载
编辑本文
科数网
费马小定理
费马小定理是指对于任意质数 $p$ 及任意正整数 $a$ 而言, $a$ 的 $p$ 次方减 $a$ 可为 $p$ 除尽,或当 $a$ 与 $p$ 互质时, $a$ 的 $p-1$ 次方除以 $p$ 的余数为1。 费马小定理的可推广至对任意互质正整数的 $a$ 和 $m$ 上,对任意的 $a$ 而言,当 $a$ 与 $m$ 互质时, $a$ 的 $\varphi(m)$ 次方除以 $m$ 的余数为 1 ,其中 $\varphi(m)$ 是不大于 $m$ 且与 $m$ 互质的正整数个数。 ## 证明 **此处所给之证明可能不严谨,或有所疏漏,还请大家校验与修正** 以下证明对质数的状况。 若 $p$ 为质数,则 $1 、 2 、 3 \cdots p-1$ 等数皆与 $p$ 互质,且 $\{1,2,3, \ldots \ldots ., p-1\}$ 构成模 $p$ 的一个完全剩余系,对于任意与 $p$ 互质的 $x$ 而言, $x 、 2 x 、 3 x$...等也与 $p$ 互质,且 $\{x, 2 x, 3 x, \ldots \ldots . .,(p-1) x\}$ 亦构成模 $p$ 的一个完全剩余系,因此, $\prod_{i=1}^{p-1} x i \equiv \prod_{i=1}^N i(\bmod m)$ ,故 $x^{p-1} \prod_{i=1}^N i \equiv \prod_{i=1}^N i(\bmod m)$ ,而 $\left(\prod_{i=1}^N i, p\right)=1$ ,故可做除法将两边的 $\prod_{i=1}^N$ 除去,故得 $x^{p-1} \equiv 1 \quad(\bmod m)$ ,定理得证。
上一篇:
同余
下一篇:
Euler-Fermat 定理
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
科数网知识库旨在打造一个可以顺序阅读的在线电子学习教程,点击顶部的
编辑本文
来完善本文,如果本文对您有用,也欢迎
赞助我们
0
篇笔记
写笔记
更多笔记
提交笔记