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哥德巴赫猜想与孪生素数

## 哥德巴赫猜想
有多少个索数呢？我们已知存在无穷多个素数．当然，也存在无穷多个合数．哪个更多，是素数还是合数呢？尽管这两种数都有无穷多个，我们仍可使用计数函数比较它们。

首先，我们从能说明基本思想的比较容易的问题着手．直觉告诉我们近一半数是偶数．通过观察偶数计数函数

$$
E(x)=\#\{\text { 偶数 } n \mid 1 \leqslant n \leqslant x\} \text {, }
$$

可将这种直觉建立在坚实的基础之上．上述 $E(x)$ 表示不超过 $x$ 的正偶数个数．例如，

$$
E(3)=1, \quad E(4)=2, \quad E(5)=2, \cdots, E(100)=50, \quad E(101)=50, \cdots
$$

为研究整数中偶数占有的比例，我们考察比率 $E(x) / x$ ：

$$
\frac{E(3)}{3}=\frac{1}{3}, \quad \frac{E(4)}{4}=\frac{1}{2}, \quad \frac{E(5)}{5}=\frac{2}{5}, \cdots, \frac{E(100)}{100}=\frac{1}{2}, \frac{E(101)}{101}=\frac{50}{101}, \cdots .
$$

比率 $E(x) / x$ 总是等于 $1 / 2$ 肯定不成立，但是当 $x$ 很大时，$E(x) / x$ 接近于 $1 / 2$ 是成立的．如果了解一点微积分知识，你会意识到我们在设法说明

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{E(x)}{x}=\frac{1}{2} 
$$

这个陈述恰说明 $x$ 越来越大时 $E(x) / x$ 与 $1 / 2$ 间的距离越来越接近于 0 ．
下面，我们对素数做相同的事情．素数计数函数被称为 $\pi(x)$ ，其中 $\pi$ 是＂prime＂的缩写．（希腊字母 $\pi$ 的这种用法与数 $3.14159 \cdots$ 没有联系．）因此，

$$
\pi(x)=\#\{\text { 素数 } p \mid p \leqslant x\} \text {. }
$$

例如 $\pi(10)=4$ ，这是因为小于 10 的素数是 $2,3,5,7$ ．类似地，小于 60 的素数是

$$
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59
$$

所以，$\pi(60)=17$ ．下表给出了 $\pi(x)$ 与比率 $\pi(x) / x$ 的值．

$$
\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline x & 10 & 25 & 50 & 100 & 200 & 500 & 1000 & 5000 \\
\hline \pi(x) & 4 & 9 & 15 & 25 & 46 & 95 & 168 & 669 \\
\hline \pi(x) / x & 0.400 & 0.360 & 0.300 & 0.250 & 0.230 & 0.190 & 0.168 & 0.134 \\
\hline
\end{array}
$$

似乎 $x$ 越来越大时 $\pi(x) / x$ 越来越小．假设这种模式继续下去，我们会说＂大多数整数不是素数＂。这就进一步提出 $\pi(x) / x$ 以怎样的速度减小的问题．下述著名结果给出答案，它是 19 世纪数论取得的最高成就之一。

定理13．1（**素数定理**）当 $x$ 很大时，小于 $x$ 的素数个数近似等于 $x / \ln (x)$ ．换句话说，

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)}{x / \ln (x)}=1
$$

$\ln (x)$（称为 $x$ 的自然对数）是以 $e =2.7182818 \cdots{ }^{\ominus}$ 为底 $x$ 的对数．下面是比较 $\pi(x)$ 与 $x / \ln (x)$ 值的表：

$$
\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c}
\hline x & 10 & 100 & 1000 & 10^4 & 10^6 & 10^9 \\
\hline \pi(x) & 4 & 25 & 168 & 1229 & 78498 & 50847534 \\
\hline x / \ln (x) & 4.34 & 21.71 & 144.76 & 1085.74 & 72382.41 & 48254942.43 \\
\hline \pi(x) /(x / \ln (x)) & 0.921 & 1.151 & 1.161 & 1.132 & 1.084 & 1.054 \\
\hline
\end{array}
$$

大约在 1800 年通过检查类似的但比较短的表，高斯与勒让德独立地提出素数定理成立的猜想．几乎过去一个世纪还没有人加以证明。1896年阿达马（Jacques Hadamard）与 Ch．de la vallée Poussin 各自努力去证明素数定理。正如狄利克雷定理的证明要用复分析方法（即复变函数论）一样，在 1948 年埃德斯（Paul Erdös）与塞尔伯格（Atle Selberg）发现了素数定理的 ＂初等＂证明。他们的证明是初等的仅指不需要复分析方法，并不意味着容易，因此不可能在此提及细节。

使人有点惊讶的是证明有关整数的定理，如狄利克雷定理与素数定理，数学家不得不使用微积分作为工具．被称为解析数论的数学分支专用微积分方法证明数论定理。

有许多著名的涉及素数的未解问题，我们在此叙述三个这样的问题及其简史来结束本章．

猜想13．2（**哥德巴赫猜想**）每个偶数 $n \geqslant 4$ 可表成两个素数之和．
哥德巴赫在1742年7月7日给欧拉的一封信中提出这个猜想。不难验证哥德巴赫猜想对前几个偶数成立．例如，

$$
\begin{aligned}
& 4=2+2, \quad 6=3+3, \quad 8=3+5, \quad 10=3+7, \quad 12=5+7 \\
& 14=3+11, \quad 16=3+13, \quad 18=5+13, \quad 20=7+13, \cdots
\end{aligned}
$$

这就对直到 20 的偶数验证了哥德巴赫猜想．使用计算机人们已对 $10^{18}$ 以下的偶数验证了哥德巴赫猜想．数学家甚至能够证明与哥德巴赫猜想相似的结论．这是支持哥德巴赫猜想的有力证据． 1937 年，维诺格拉朵夫（I．M．Vinogradov）证明了每个充分大的奇数 $n$ 可表成三个素数之和． 1966 年，陈景润证明了每个充分大的偶数可表成 $p+a$ 的形式，其中 $p$ 是素数，$a$是素数或两个索数的乘积．

猜想 13．3（**孪生素数猜想**）存在无穷多个素数 $p$ 使得 $p+2$ 也是素数．
素数很不规则，相邻两个素数间常常会有很大的间隙。例如，素数 370261 之后紧接着 111 个合数。换句话说，似乎使素数 $p$ 紧随另一个素数 $p+2$ 的有相当一些例子。（当然 $p+1$ 不是素数，因为它是偶数．）这些数对被称为孪生素数，孪生素数猜想说明孪生素数表没有结束．前几个孪生素数是

$$
(3,5), \quad(5,7), \quad(11,13), \quad(17,19), \quad(29,31), \quad(41,43), \quad(59,61), \quad(71,73),
$$

$$
\begin{array}{llllll}
(101,103) & (107,109), & (137,139), & (149,151), & (179,181), & (191,193), \\
(197,199), & (227,229), & (239,241), & (269,271), & (281,283), & (311,313) .
\end{array}
$$

如哥德巴赫猜想那样，人们使用计算机查找大的孪生素数，例如，其中包括由

$$
242206083 \cdot 2^{38880}-1 \quad \text { 与 } 242206083 \cdot 2^{38880}+1
$$

组成的巨大数对。作为使猜想成立的进一步的事实，陈景润于1966年证明存在无穷多个素数 $p$ 使得 $p+2$ 是素数或两个素数的乘积。

猜想13．4（ **$N^2+1$ 猜想**）存在无穷多个形如 $N^2+1$ 的素数。
如果 $N$ 是奇数，则 $\hat{N}^2+1$ 是偶数，所以它不可能是素数（除非 $N=1$ ）。然而，如果 $N$ 是偶数，则 $N^2+1$ 似乎经常是素数．$N^2+1$ 猜想说明这种情况无穷次发生．前几个这种形式的素数是

$$
\begin{array}{ll}
2^2+1=5, \quad 4^2+1=17, \quad 6^2+1=37, \quad 10^2+1=101, \quad 14^2+1=197 \\
16^2+1=257, \quad 20^2+1=401, \quad & 24^2+1=577, \quad 26^2+1=677, \quad 36^2+1=1297 \\
& 40^2+1=1601
\end{array}
$$

目前已知的最好结果由 Hendrik Iwaniec 于1978年证明．他证明存在无穷多个 $N$ 使得 $N^2+1$ 是素数或两个素数的乘积。

尽管没有人知道是否存在无穷多个孪生索数或形如 $N^2+1$ 的素数，但是，数学家猜测它们的计数函数很相像．设
$T(x)=\#\{$ 使得 $p+2$ 也是素数的素数 $p \leqslant x\}$ ， $S(x)=\#\left\{\right.$ 使得 $p$ 的形式为 $N^2+1$ 的素数 $\left.p \leqslant x\right\}$ 。
则猜测

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{T(x)}{x /(\ln x)^2}=C \quad \text { 与 } \quad \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\dot{S}(x)}{\sqrt{x} / \ln x}=C^{\prime}
$$

要确切叙述数 $C$ 与 $C^{\prime}$ 有点复杂．例如，$C$ 近似等于 0.66016 ．

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