最后更新: 2025-10-16 10:09 查看: 117 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

课外阅读：哥德巴赫猜想与孪生素数

## 哥德巴赫猜想
有多少个索数呢？我们已知存在无穷多个素数．当然，也存在无穷多个合数．哪个更多，是素数还是合数呢？尽管这两种数都有无穷多个，我们仍可使用计数函数比较它们。

首先，我们从能说明基本思想的比较容易的问题着手．直觉告诉我们近一半数是偶数．通过观察偶数计数函数

$$
E(x)=\#\{\text { 偶数 } n \mid 1 \leqslant n \leqslant x\} \text {, }
$$

可将这种直觉建立在坚实的基础之上．上述 $E(x)$ 表示不超过 $x$ 的正偶数个数．例如，

$$
E(3)=1, \quad E(4)=2, \quad E(5)=2, \cdots, E(100)=50, \quad E(101)=50, \cdots
$$

为研究整数中偶数占有的比例，我们考察比率 $E(x) / x$ ：

$$
\frac{E(3)}{3}=\frac{1}{3}, \quad \frac{E(4)}{4}=\frac{1}{2}, \quad \frac{E(5)}{5}=\frac{2}{5}, \cdots, \frac{E(100)}{100}=\frac{1}{2}, \frac{E(101)}{101}=\frac{50}{101}, \cdots .
$$

比率 $E(x) / x$ 总是等于 $1 / 2$ 肯定不成立，但是当 $x$ 很大时，$E(x) / x$ 接近于 $1 / 2$ 是成立的．如果了解一点微积分知识，你会意识到我们在设法说明

$$
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{E(x)}{x}=\frac{1}{2} 
$$

这个陈述恰说明 $x$ 越来越大时 $E(x) / x$ 与 $1 / 2$ 间的距离越来越接近于 0 ．
下面，我们对素数做相同的事情．素数计数函数被称为 $\pi(x)$ ，其中 $\pi$ 是＂prime＂的缩写．（希腊字母 $\pi$ 的这种用法与数 $3.14159 \cdots$ 没有联系．）因此，

$$
\pi(x)=\#\{\text { 素数 } p \mid p \leqslant x\} \text {. }
$$

例如 $\pi(10)=4$ ，这是因为小于 10 的素数是 $2,3,5,7$ ．类似地，小于 60 的素数是

$$
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59
$$

所以，$\pi(60)=17$ ．下表给出了 $\pi(x)$ 与比率 $\pi(x) / x$ 的值．

$$
\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline x & 10 & 25 & 50 & 100 & 200 & 500 & 1000 & 5000 \\
\hline \pi(x) & 4 & 9 & 15 & 25 & 46 & 95 & 168 & 669 \\
\hline \pi(x) / x & 0.400 & 0.360 & 0.300 & 0.250 & 0.230 & 0.190 &

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