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课外阅读：梅森素数

## 梅森素数

我们研究形如 $a^n-1(n \geqslant 2)$ 的素数．例如， 31 就是这样的素数，因为 $31=2^5-1$ ．第一步观察某些数据．

$$
\begin{array}{llll}
\hline  2^2-1=3  &  2^3-1=7  &  2^4-1=3 \cdot 5  &  2^5-1=31  \\
 3^2-1=2^3  &  3^3-1=2 \cdot 13  &  3^4-1=2^4 \cdot 5  &  3^5-1=2 \cdot 11^2  \\
 4^2-1=3 \cdot 5  &  4^3-1=3^2 \cdot 7  &  4^4-1=3 \cdot 5 \cdot 17  &  4^5-1=3 \cdot 11 \cdot 31  \\
 5^2-1=2^3 \cdot 3  &  5^3-1=2^2 \cdot 31  &  5^4-1=2^4 \cdot 3 \cdot 13  &  5^5-1=2^2 \cdot 11 \cdot 71  \\
 6^2-1=5 \cdot 7  &  6^3-1=5 \cdot 43  &  6^4-1=5 \cdot 7 \cdot 37  &  6^5-1=5^2 \cdot 311  \\
 7^2-1=2^4 \cdot 3  &  7^3-1=2 \cdot 3^2 \cdot 19  &  7^4-1=2^5 \cdot 3 \cdot 5^2  &  7^5-1=2 \cdot 3 \cdot 2801  \\
 8^2-1=3^2 \cdot 7  &  8^3-1=7 \cdot 73  &  8^4-1=3^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13  &  8^5-1=7 \cdot 31 \cdot 151  \\
\hline
\end{array}
$$

容易观察到 $a$ 是奇数时 $a^n-1$ 是偶数，从而不可能是素数．由表格可以看出 $a^n-1$ 总是被 $a-1$ 整除．这的确成立．使用几何级数求和公式

$$
x^n-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1\right)
$$

可证明这是正确的．
要验证这个几何级数公式，我们展开右边的乘积．即

$$
\begin{aligned}
& (x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1\right) \\
= & x \cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1\right)-1 \cdot\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1\right) \\
= & \left(x^n+x^{n-1}+\cdots+x^3+x^2+x\right)-\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1\right) \\
= & x^n-1,
\end{aligned}
$$

所有其他项被消去。
使用 $x=a$ 的几何级数公式可得 $a^n-1$ 总是被 $a-1$ 整除．所以 $a^n-1$ 是合数，除非 $a-1=1$ ，即除非 $a=2$ ．

然而，即使 $a=2$ ，数 $2^n-1$ 也常常是合数．我们再观察一些数据：

$$
\begin{array}{l|c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\hline n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
\hline 2^n-1 & 3 & 7 & 3 \cdot 5 & 31 & 3^2 \cdot 7 & 127 & 3 \cdot 5 \cdot 17 & 7 \cdot 73 & 3 \cdot 11 \cdot 31 \\
\hline
\end{array}
$$

这个短表蕴涵下述事实：
当 $n$ 是偶数时， $2^n-1$ 被 $3=2^2-1$ 整除。
当 $n$ 被 3 整除时， $2^n-1$ 被 $7=2^3-1$ 整除。
当 $n$ 被 5 整除时， $2^n-1$ 被 $31=2^5-1$ 整除．
所以我们猜测如果 $n$ 被 $m$ 整除，则 $2^n-1$ 被 $2^m-1$ 整除。
如果已进行这种观察，则容易证明这是成立的．所以，假设 $n$ 分解成 $n=m k$ ，则 $2^n=$ $2^{m k}=\left(2^m\right)^k$ ．使用 $x=2^m$ 的几何级数公式得

$$
2^n-1=\left(2^m\right)^k-1=\left(2^m-1\right)\left(\left(2^m\right)^{k-1}+\left(2^m\right)^{k-2}+\cdots+\left(2^m\right)^2+\left(2^m\right)+1\right)
$$

这证明了如果 $n$ 是合数，则 $2^n-1$ 是合数．我们已证明下述事实．
命题14．1 如果对整数 $a \geqslant 2$ 与 $n \geqslant 2, \dot{a}^n-1$ 是素数，则 $a$ 必等于 2 且 $n$ —定是素数．
这表明如果对形如 $a^n-1$ 的素数感兴趣的话，我们就仅需考虑 $a=2$ 与 $n$ 是素数的情形．形如 $2^p-1$ 的素数叫做梅森素数．前几个梅森索数是

$$
2^2-1=3, \quad 2^3-1=7, \quad 2^5-1=31, \quad 2^7-1=127, \quad 2^{13}-1=8191 .
$$

当然，并非每个形如 $2^p-1$ 的数都是素数．例如．

$$
2^{11}-1=2047=23 \cdot 89, \quad 2^{29}-1=536870911=233 \cdot 1103 \cdot 2089 .
$$

梅森素数以神父梅森（Marin Mersenne，1588－1648）命名，他在 1644 年断言

$$
p=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257
$$

时 $2^p-1$ 是索数，且这些是使得 $2^p-1$ 为素数的仅有的小于 258 的素数．不知道梅森是如何发现这些＂事实＂的，尤其是从最后看出他的列表不正确起。使得 $2^p-1$ 是素数的小于 10000的素数 $p$ 的完全表为

$$
\begin{aligned}
p= & 2,3,5,7,13,17,19,31,61,89,107,127,521,607,1279,2203,2281, \\
& 3217,4253,4423,9689,9941 .
\end{aligned}
$$

计算机的发展使得查验数百位数的素性成为可能。的确，直到 1876 年卢卡斯（E．Lucas）才证明了 $2^{127}-1$ 是素数，卢卡斯数保持最大已知素数的记录一直到 20 世纪 50 年代才被打破． 下面列数主要的梅森素数

## **著名的梅森素数**
| 发现年份 | 索引 $p$      | 数值大小（位数） | 备注                          |
|----------|------------------|----------------|-------------------------------|
| 1996     | 13,204,969      | 4,096,000      | 第34个梅森素数                |
| 2008     | 24,036,583      | 7,236,818      | 第35个，当时最大素数          |
| 2018     | 82,589,933      | 24,862,048      | 第51个，至今仍是已知最大素数* |

>  注：截至2025年底，尚未发现更大的梅森素数。

当然，尽管查看世界上已知的最大素数表比较有意思，但发现更多的梅森素数没有太大的数学意义，数学上更令人感兴趣的是下述问题．

> **问题  存在无穷多个梅森素数吗？**

### **为什么研究梅森素数？**
1. **数学理论**：推动数论发展，深化对素数分布的理解。
2. **密码学**：梅森素数是RSA加密算法中大素数的潜在来源。
3. **技术挑战**：驱动高性能计算与算法优化，促进计算机科学进步。

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