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聪明的囚徒

## 聪明的囚徒
古希腊有个国王，对处死囚徒的方法作了两种规定：一种是砍头，一种是处绞刑。并且他自恃聪明地作出一种决定：**园徒可以任意说出一句话，而且这句话是马上可以验证其真假。如果囚徒说的是真话，那么处以绞刑；如果说的是假话，那么就砍头．结果，许多囚徒或者因为说了真话而被绞死；或者因为说了假话而被砍头。**

有一位极其聪明的囚徒，当轮到他来选择处死方法时，他说出一句巧妙的话，结果使这个国王按照哪种方式处死他，都违背自己的决定，只得将他放了。

> 试问：这囚徒说的是句什么话？

在日常的语言中，一般地讲，只有陈述句才可分辨真假．凡是可以决定真假的语句叫做**命题**。但陈述句中有两种形式不是命题。如陈述句＂这道题很难＂，＂那个人相当年轻＂等，＂很难＂，＂相当年轻＂等这些概念没有清晰的界限，属于模糊命题，这类命题不属于我们讨论范围。

还有一类，就陈述句本身而言，确实很明确，但与其他命题联合起来，就无法判定其真假．如在一张空白的双面卡片上，正面写上一句：＂$A$ ：这张卡片背面的句子是真的．＂而在该卡片的背面写上一句：＂$B$ ：这张卡片背面的句子是假的．＂

若 $A$ 是真的，那么 $B$ 就是真的，即＂这张卡片背面的句子是假的＂为真，这就导致句子 $A$ 是假的．

若 $A$ 是假的，那么 $B$ 就是假的，即＂这张卡片背面的句子是假的＂为假，这又导致句子 $A$ 是真的．
两个句子都没谈到自身，但放到一起，它们就不断改变着它们的真实性，结果就无法判断出任何一个句子的真假性。这不是诡辩，这是命题悖论。在日常语言活动中，留心命题逻辑这一问题的人，往往还可找到许多这样的例子。

最典型的例子是＂说谎者悖论＂：＂我正说的这句话是谎话＂。试问这句话是否真是谎话呢？若是谎话，则它陈述的事实为假，因而＂我＂说的就不是谎话；若不是谎话，则它陈述的事实为真，因而＂我＂说的又是谎话。总之无法自圆其说。

又如＂自谓悖论＂：一个形容词能够形容自己，则称为＂自谓的＂，否则就是＂非自谓的＂．例如，＂中文的＂这个形容词就是 ＂自谓的＂，因为它不但可以形容一切用中文书写或印刷的东西，还可以形容它自己，它自己也是＂中文的＂；而＂英文的＂这个形容词则是＂非自谓的＂，因为它本身并非是＂英文的＂。现在问＂非自谓的＂这个形容词是否＂自谓＂呢？若它是自谓的（即可自己形容自己），则正好又与它本身的词义相同，按照＂自谓的＂定义，它又应该是自谓的．

## 命题悖(bèi)论
所谓命题悖论是：一个命题 $Q$ ，如果从 $Q$ 为真，可以推出 $Q$ 为假；又从 $Q$ 的否定为真（即 $Q$ 为假），可以推出 $Q$ 为真，我们就说 $Q$ 是一个命题悖论．这类悖论往往还是与语义有关的悖论。

命题悖论是与集合悖论密切相关的，每一命题悖论可以重新组织为一个关于集合的悖论；反之，每一个集合悖论可以重新组织为一个关于命题的悖论。

最初罗素为了排除这种悖论，提出下面的观点：语言应该层次分明，同一层次的语言不能在其自身中讨论真假，建立了所谓＂简单类型论＂．按照这个理论，把集合按其类型的级别加以排列，一个集合不能是低一级的任何集合的元素，这样就把第四个问题中的罗素悖论的＂…个集合是它本身的一个元素或不是此集合的元素＂就排除掉了，从而消除了自相矛盾的集合，这也就在命题逻辑中，规定了合格命题的法则。但岁素的这种类型论并没有被大多数逻辑学者所接受，进而导致了各种公理化集合论。

## 囚徒说了什么话
继续上面的小故事，聪明的囚徒所说的话，应使国王无论怎么处置他都带来矛盾，这句话就是：

>＂国王决定将我砍头＂。

如果这和国王的规定一致，是说真话，因而按国王决定的处死方法，讲真话应处以绞刑。这样造成了国王的规定（砍头）同按国王决定的处死方法相矛盾。如果这和国王的规定不一致，是说的假话，因而按国王决定的处死方法。讲假话应予以砍头，这样又造成了国王的规定（绞刑）同按国王决定的处死方法相矛盾。国王处于进退维谷的处境，只好免于处死，将囚徒放掉．

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