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机灵的小白鼠

## 机灵的小白鼠
捕鼠能手大花猫，每天要抓到不少老鼠。为了表明它的仁慈与宽厚，它在吃老鼠以前，先叫老鼠列队报数。第一批吃掉报单数的，剩下的老鼠重新报数，第二批仍吃掉报单数的，第三批也是如此…，最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新列队报数…。

后来，大花猫发现了一件极其奇怪的事情．大花猫发现，一连好几天，最后被留下来的总是一只小白鼠。大花猫很是不理解，试问这只机灵的小白鼠每天列队时站在什么位置上才不被花猫吃掉？

## 思维解析
人们习惯用十进制数来计数，但有些特殊问题，用二进制数表示后，更易发现其规律性。

由二进制数与十进制数之间的对照，很易看出以下关系：
 ![图片](/uploads/2025-03/b61e6a.jpg)
 
 我们就用这个规律来分析和解决机灵的小白鼠排在什么位置才不被吃掉，进而还可找出排在任意一个位惪能被第 $n$批吃掉的问题。

只有每次报数都能保证是偶数，才有可能不被吃掉。很明显，开始若干次是偶数，并不能保证后面仍是偶数，因为上一次的偶数个数，在下一次报数时有一半成为奇数，要保证每次都是偶数个数，就只有根据总数量的多少，排在第 $2,4,8,16$ ， 32 的位置，即第 $2^1, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$ 的位㯰．比如有 13 只老鼠．
 ![图片](/uploads/2025-03/8ee7c6.jpg)
 
 即开始排在第 $8=2^3$ 的位置，才不被吃掉，就是每次要排在有尽可能多的因数 2 的位置，就安全了．比如： 10 只老鼠排队，站在第 8 位 $(2 \times 2 \times 2)$ ； 20 只老鼠排队，站在第 16 位 $(2 \times 2 \times$ $2 \times 2)$ ； 40 只老鼠排队，站在第 32 位 $(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2)$ ；等等．一般地，有下列规律 如下
 $$
 \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}
\hline \text { 鼠数 } & 2 \rightarrow 3 & 4 \rightarrow 7 & 8 \rightarrow 15 & 16 \rightarrow 31 & \cdots & 2^{n \rightarrow 2^{n+1}-1} \\
\hline \text { 位置 } & 2 & 4 & 8 & 16 & \cdots & 2^n \\
\hline
\end{array}
$$

用二进位数表示留下的位置，相应的就是： $10,100,1000$ ， $10000, \cdots, 1 \underbrace{00 \cdots 0}_{n \uparrow 0}$ 。

如果我们把老鼠位置化为二进位制数，就立刻知道它将在第几批被吃掉，如对第 12 只老鼠，将 12 化为二进制数是 1100 ，右边第 $1, ~ 2$ 位是＂ 0 ＂，所以它在第一批。第二批都被留下，而在右边第 3 位是＂1＂，它肯定是在第三批被吃掉．

只有那些位置数化成二进制数时，只有一个＂1＂和若干个 ＂0＂的老鼠才可能被留下．至于留下哪一只，就要看排队老鼠

的多少而定（见上表）。这只机灵的小白鼠，每次列队都排在 $2^n(\underbrace{1000 \cdots 0}_{n \uparrow})$ 的位置上，故每批都被剩下了．

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