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理发师的头由谁来理？

## 理发师的头由谁来理？

在一个小镇上，有一个理发师公开宣布：他给而且只给小镇上所有不给自己理发的人理发。现在要问：这位理发师的头由谁来理？

如果理发师的头由别人给他理，即理发师自己不给自己理发，那么按规定这位理发师的头应该由自己理。

如果理发师的头由他自己理，按规定他只给那些不给自己理发的人理发，那么理发师的头不能由他自己理，即理发师的头应该由别人给他理。

这就产生了矛盾：理发师的头既不能由别人理，也不能由他自己理，这位理发师的规定是一个悖论．

这类问题，我们可以举出大量的例子．某些集合看起来是集合自身的元素，如所有不是苹果的东西的集合，它本身就不是苹果，它必须是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是集合本身的元素组成的集合，请问：这个集合是它本身的元素吗？这个问题我们是很难作出回答的。

原来在康托尔创立集合论的时候，有一个既基本又明显的问题一直困扰着数学家们．集合论的研究对象是集合，那么何谓集合？对集合定义我们一直而且只能给出一个原始的描述．这在朴素的集合论中还是可以行得通的，可是随着数学的发展，发现单凭直观经验建立起来的集合概念是靠不住的．正当康托尔的集合论开始为大家所接受时，1902年罗素提出了一个集合上的悖论．这一悖论是如此清晰，数学家几乎没有辩驳的余地．这正如一盆冷水浇下来，使数学家们目瞪口呆，正如数学家费雷格（Frege，1848～1925）曾对此写道：＂对一个科学家来说，没有一件事比下列事实更令人扫兴。当他的工作刚刚完成的时候，突然它的一块奠基石崩塌了．……罗素先生给我的信正是使我陷于这种境地．＂

## 罗素悖论

罗素悖论是相当简明的，罗素将集合分成两类，一类是集合 $A$ 本身是 $A$ 的一个元素，即 $A \in A$ ；另一类是集合 $A$ 本身不是 $A$ 的一个元素，即 $A \notin A$ 。现在构造一个集合 $S$ ：

$$
S=\{A \mid A \notin A\}
$$

也就是说 $S$ 是由满足条件＂$A \notin A$＂的那些 $A$ 组成的一个新的集合。我们问：$S$ 是不是它自己的一个元素？即 $S \in S$ 还是 $S \notin$ $S$ ？

如果 $S \notin S$ ，因为集合 $S$ 由所有满足条件 $A \notin A$ 的集合 $A$所组成，由 $S \notin S$ ，即知 $S$ 当然就在 $S$ 中，也就是说 $S \in S$ ．

如果 $S \in S$ ，因为集合 $S$ 中任一元素 $A$ 都有 $A \

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