最后更新: 2025-03-09 09:32 查看: 159 次纠错评论(0) 课件开VIP

理发师的头由谁来理？

## 理发师的头由谁来理？

在一个小镇上，有一个理发师公开宣布：他给而且只给小镇上所有不给自己理发的人理发。现在要问：这位理发师的头由谁来理？

如果理发师的头由别人给他理，即理发师自己不给自己理发，那么按规定这位理发师的头应该由自己理。

如果理发师的头由他自己理，按规定他只给那些不给自己理发的人理发，那么理发师的头不能由他自己理，即理发师的头应该由别人给他理。

这就产生了矛盾：理发师的头既不能由别人理，也不能由他自己理，这位理发师的规定是一个悖论．

这类问题，我们可以举出大量的例子．某些集合看起来是集合自身的元素，如所有不是苹果的东西的集合，它本身就不是苹果，它必须是此集合自身的元素。现在来考虑一个由一切不是集合本身的元素组成的集合，请问：这个集合是它本身的元素吗？这个问题我们是很难作出回答的。

原来在康托尔创立集合论的时候，有一个既基本又明显的问题一直困扰着数学家们．集合论的研究对象是集合，那么何谓集合？对集合定义我们一直而且只能给出一个原始的描述．这在朴素的集合论中还是可以行得通的，可是随着数学的发展，发现单凭直观经验建立起来的集合概念是靠不住的．正当康托尔的集合论开始为大家所接受时，1902年罗素提出了一个集合上的悖论．这一悖论是如此清晰，数学家几乎没有辩驳的余地．这正如一盆冷水浇下来，使数学家们目瞪口呆，正如数学家费雷格（Frege，1848～1925）曾对此写道：＂对一个科学家来说，没有一件事比下列事实更令人扫兴。当他的工作刚刚完成的时候，突然它的一块奠基石崩塌了．……罗素先生给我的信正是使我陷于这种境地．＂

## 罗素悖论

罗素悖论是相当简明的，罗素将集合分成两类，一类是集合 $A$ 本身是 $A$ 的一个元素，即 $A \in A$ ；另一类是集合 $A$ 本身不是 $A$ 的一个元素，即 $A \notin A$ 。现在构造一个集合 $S$ ：

$$
S=\{A \mid A \notin A\}
$$

也就是说 $S$ 是由满足条件＂$A \notin A$＂的那些 $A$ 组成的一个新的集合。我们问：$S$ 是不是它自己的一个元素？即 $S \in S$ 还是 $S \notin$ $S$ ？

如果 $S \notin S$ ，因为集合 $S$ 由所有满足条件 $A \notin A$ 的集合 $A$所组成，由 $S \notin S$ ，即知 $S$ 当然就在 $S$ 中，也就是说 $S \in S$ ．

如果 $S \in S$ ，因为集合 $S$ 中任一元素 $A$ 都有 $A \notin A$ ，由 $S$ $\in S$ 知 $S$ 是 $S$ 中的元素，所以 $S \notin S$ 。

这样我们便得到了矛盾：既不是 $S \in S$ ，也不是 $S \notin S$ ，这就是著名的罗素悖论。

罗素悖论的出现说明朴素集合论有问题，从而使数学的基础也发生了动摇，引起了一些著名数学家的极大重视．是不是可以抛弃集合论，而把数学建立在其他更为严密可靠的理论之上？但是经过一段时间的探索，发现别的理论更不好建立和运用，远不如集合论方便有力。于是许多数学家致力于集合论的改造，开始了集合论公理的研究．1908年策梅罗（Zerme－ lo）首先创立了集合论的一个公理系统，后来经过费兰克尔 （A．Fraenkel）改进，形成了今天著名的 ZF 系统．同时，罗素也发表了他的一个集合论公理系统——类型论．以后冯－诺依曼（John von Neumann），贝尔奈斯（P．Bernays），哥德尔 （Godel）等人相继建立了其他类型的公理系统。在这一过程中，数学家们不仅为整个数学奠定了比较坚实的基础，而且也取得了极为丰富的成果，推动了数学基础理论的进一步发展和完善。罗素悖论的成因十分繁杂，究竟是什么样的前提导致了悖论的出现，众说纷纭，并因此形成各种各样的学派，争论的焦点主要集中在＂一切集合汇集在一起＂是否仍然构成一个集合，这一问题迄今仍未得到彻底解决。现在，尽管数学大厦的基础依然存在着一丝裂缝，但总的说来，由集合悖论而引起的数学危机（第三次数学危机）已经趋于平缓。
＂理发师的头由谁来理＂的故事，就是罗素悖论的通俗表述。下面用罗素悖论来说明一下。

设小镇上那些不给自己理发的人的全体组成集合 $C$ ，由题意知这位理发师只给且仅给集合 $C$ 中的人理发。

如果这位理发师属于集合 $C$ ，那么由集合 $C$ 的定义可知，理发师不能给自己理发。另一方面，由题意，理发师应该给自已理发。反之，如果这位理发师不属于集合 $C$ ，那么由集合 $C$的定义可知，理发师应给自己理发。另一方面，由题意，理发师不给自己理发．这是一个罗素悖论．

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