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巧猜围棋子

## 巧猜围棋子

> 甲手里有一个围棋子，要乙来猜棋子的颜色是白的还是黑的。条件是：只允许乙问一个只能回答＂是＂或＂否＂的问题，但甲可以说真话，也可以说假话。问乙可以向甲提出一个什么问题，然后从甲回答＂是＂或＂否＂中就能判断出甲手中棋子的颜色？

在命题逻辑中，仅由一个简单句构成的命题称为简单命题。若干个简单命题通过逻辑联结词连接起来所构成的新命题，称为复合命题．这种构成复合命题的方法，我们称为逻辑运算．最基本的逻辑运算有三种：＂或＂，＂与＂，＂非＂。
### 或
＂或＂运算记作V．即由命题 $P$ 及命题 $Q$ 通过联结词＂或＂连接起来所构成的新命题＂$P$ 或 $Q$＂，记作 $P \vee Q$ 。它的真假状况称为真值。如果用符号＂ 1 ＂和＂ 0 ＂分别表示它的真和假，那么这种运算可用如下的真值表1．1反映出来。
 ![图片](/uploads/2025-03/9f3c1f.jpg)

> 或运算类似至少一个成立即可，比如小白兔感觉热，开空调或开风扇都能降温，因此，小白兔要降温，二选一或者两个都开就可以了
 
### 与 
＂与＂运算记作 $\wedge$ 。即由命题 $P$ 及命题 $Q$ 通过联结词＂与＂连接起来所构成的新命题＂$P$ 与 $Q$＂记作 $P \wedge Q$ 。它的真值表如表1．2所示．
 ![图片](/uploads/2025-03/2c99ca.jpg)
 
 > 与运算要求多个同时成立，比如小兔兔要成为社会主义建设者和接班人，需要学习好并且品德好。这里“学习好”与“品德好”需要同时满足
 
### 非
＂非＂运算记作 $\neg$ ．即由命题 $P$ 通过联结词＂非＂连接起来所构成的新命题＂非 $P$＂记作 $\sim P$ 。它的真值表如表 1.3 所示。
 ![图片](/uploads/2025-03/b70904.jpg)
 
 > 非运算类似反运算，比如今天天一热的相反面就是 天气不热。

### 复合运算

其他的复合命题的真值表，依据三种基本選辑运算，按先 $\neg$ ，次 $\wedge$ ，后 $\vee$ 的顺序很容易列出．如复合命题 $\neg P \vee Q$ 的真值表就如表 1.4 所示．
 ![图片](/uploads/2025-03/9b0156.jpg)
 
 反过来，我们也可以根据已给的复合命题的真值，构造出这个复合命题来，其办法是利用 $P \vee Q, ~ P \wedge Q$ 和 $\neg P \vee Q$ 的真值表以及由此得到的以下几个结论：

$$
\begin{gathered}
P_1 \vee \cdots \vee P_n=0 \text { 等价于一切 } P_i=0(i=1,2, \cdots, n) ; \\
P_1 \wedge \cdots \wedge P_n=1 \text { 等价于一切 } P_i=1(i=1,2, \cdots, n) ; \\
\neg P \vee Q=0 \text { 等价于 } P=1, Q=0 .
\end{gathered}
$$

例如，构造由 $P, Q, R$ 组成的复合命题 $S$ ，使它具有如表 1.5 所示的真值表．
 ![图片](/uploads/2025-03/b77aaa.jpg)
 
 我们的办法是先构造出一些辅助命题 $S_1 \cdots S_8$（三个简单命题有八个取值组），使命题 $S_i$ 在第 $i$ 行的值为 0 ，其余各行的值均为 1 。其次要看构造的命题 $S$ 在哪些行的值为 0 ，这里 $S$ 在 $1,3,4,5,7$ 行的值为 0 。如果 $S$ 只在第 $i_1$ 行，第 $i_2$ 行，$\cdots$ ，第 $i_i$ 行的值为 0 ，那么由结论（2）可知：命题 $S_{i_1} \wedge S_{i_2} \wedge \cdots \wedge S_{i_2}$只在第 $i_1$ 行，第 $i_2$ 行，$\cdots$ ，第 $i_l$ 行的值为 0 ，因此，$S_{i_1} \wedge S_{i_2} \wedge \cdots$ $\wedge S_{i_r}$ 就是符合预先给定真值表的复合命题。

当 $l>4$ 时（即大于取值组个数的一半），我们也可以从 $S$的否定命题 ${ }^{\prime} S$ 去考虑，然后再求它的非 $S$ ，即 $S=\cdots(\sim S)$ 。

在此例中，$t=5$ ，我们可根据已知真值表，先作出相反的真值表 $\neg S$（见表 1.5 ），而 $\neg S$ 的第 $2,6,8$ 行的值为 0 ，相应的命题记为 $(\neg S)_2,(\neg S)_6,(\neg S)_8$ ，我们把 $\neg S$ 的真值表的第 2，6，8 行列表如下：

![图片](/uploads/2025-03/8bbc4c.jpg)
 
 命题 $(\neg S)_2$ 构造如下：$P=1, Q=1, R=0$ ，由结论（3）可取 $\neg(P \wedge Q) \vee R$ 作为 $(\neg S)_2$ 。

命题 $(\neg S)_6$ 构造如下：$P=0, Q=1, R=0$ ，由结论（3）可取 $\neg Q \vee(P \vee R)$ 作为 $(\neg S)_6$ 。

命题 $(\neg S)_{ B }$ 的构造如下：$P=0, Q=0, R=0$ ，所以显然可取 $P \vee Q \vee R$ 为 $(\neg S)_{ 8 }$ 。

最后，我们可取 $(\neg S)_2 \wedge(\neg S)_6 \wedge(\neg S)_8$ 作为 $\neg S$ ，取其非，即

$$
S=\neg\left((\neg S)_2 \wedge(\neg S)_6 \wedge(\neg S)_8\right)
$$

$$
\begin{aligned}
= & -[(\neg(P \wedge Q) \vee R) \wedge(\neg Q \vee(P \vee R)) \\
& \wedge(P \vee Q \vee R)] .
\end{aligned}
$$

这样的 $S$ ，一般还是比较复杂的，但在后文，我们熟悉了逻辑运算所满足的运算律后，是很容易化简的．

## 答案
现在我们来解决开始提出的问题，这问题的实质是要设计一个复合命题．这个复合命题，应使乙得到的回答如表1．7所示．

![图片](/uploads/2025-03/bf4258.jpg)
 
 这样乙就可以来断定棋子为白色还是黑色．
但另一方面，甲在说假话时，与其内心的真实回答相反，这样甲内心的真实回答如表1．8所示。
 ![图片](/uploads/2025-03/433896.jpg)
 
 今令命题$P$ 表示：＂棋子为白色＂；$Q$ 表示：＂甲说的是真话＂；$S$ 表示：＂对乙问的问题，甲心里的回答为 ＂是＂＂．于是可得真值表1．9．

由前面所给出的构造复合命题的方法，可得

$$
S_2=\neg P \vee Q, \quad S_3=\neg Q \vee P
$$

故
 ![图片](/uploads/2025-03/c22205.jpg)
 
 $$
S=(\neg P \vee Q) \wedge(\neg Q \vee P)
$$

即这个问题是：＂要么你说的是真话，要么棋子是黑的＂和＂要么你说的是假话，要么棋子是白的＂这话对吗？按着我们的设计，如果得到的回答为＂是＂，则棋子必为白色；如果回答为 ＂否＂，则棋子是黑的．

这个复合命题，句子很长且说起来别扭，如果我们熟悉了逻辑运算律（后文），此命题可化简为 $P \wedge Q \vee \neg P \wedge \neg Q$ 。这样叙述起来就很简洁清楚了：＂棋子是白的且你说了真话或者棋子是黑的且你说了假话＂对吗？

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