最后更新: 2025-03-09 08:49 查看: 106 次反馈同步训练

巧猜围棋子

## 巧猜围棋子

> 甲手里有一个围棋子，要乙来猜棋子的颜色是白的还是黑的。条件是：只允许乙问一个只能回答＂是＂或＂否＂的问题，但甲可以说真话，也可以说假话。问乙可以向甲提出一个什么问题，然后从甲回答＂是＂或＂否＂中就能判断出甲手中棋子的颜色？

在命题逻辑中，仅由一个简单句构成的命题称为简单命题。若干个简单命题通过逻辑联结词连接起来所构成的新命题，称为复合命题．这种构成复合命题的方法，我们称为逻辑运算．最基本的逻辑运算有三种：＂或＂，＂与＂，＂非＂。
### 或
＂或＂运算记作V．即由命题 $P$ 及命题 $Q$ 通过联结词＂或＂连接起来所构成的新命题＂$P$ 或 $Q$＂，记作 $P \vee Q$ 。它的真假状况称为真值。如果用符号＂ 1 ＂和＂ 0 ＂分别表示它的真和假，那么这种运算可用如下的真值表1．1反映出来。
 ![图片](/uploads/2025-03/9f3c1f.jpg)

> 或运算类似至少一个成立即可，比如小白兔感觉热，开空调或开风扇都能降温，因此，小白兔要降温，二选一或者两个都开就可以了
 
### 与 
＂与＂运算记作 $\wedge$ 。即由命题 $P$ 及命题 $Q$ 通过联结词＂与＂连接起来所构成的新命题＂$P$ 与 $Q$＂记作 $P \wedge Q$ 。它的真值表如表1．2所示．
 ![图片](/uploads/2025-03/2c99ca.jpg)
 
 > 与运算要求多个同时成立，比如小兔兔要成为社会主义建设者和接班人，需要学习好并且品德好。这里“学习好”与“品德好”需要同时满足
 
### 非
＂非＂运算记作 $\neg$ ．即由命题 $P$ 通过联结词＂非＂连接起来所构成的新命题＂非 $P$＂记作 $\sim P$ 。它的真值表如表 1.3 所示。
 ![图片](/uploads/2025-03/b70904.jpg)
 
 > 非运算类似反运算，比如今天天一热的相反面就是 天气不热。

### 复合运算

其他的复合命题的真值表，依据三种基本選辑运算，按先 $\neg$ ，次 $\wedge$ ，后 $\vee$ 的顺序很容易列出．如复合命题 $\neg P \vee Q$ 的真值表就如表 1.4 所示．
 ![图片](/uploads/2025-03/9b0156.jpg)
 
 反过来，我们也可以根据已给的复合命题的真值，构造出这个复合命题来，其办法是利用 $P \vee Q, ~ P \wedge Q$ 和 $\neg P \vee Q$ 的真值表以及由此得到的以下几个结论：

$$
\begin{gathered}
P_1 \vee \cdots \vee P_n=0 \text { 等价于一切 } P_i=0(i=1,2, \cdots, n) ; \\
P_1 \wedge \cdots \wedge P_n=1 \text { 等价于一切 } P_i=1(i=1,2, \cdots, n) ; \\
\neg P \vee Q=0 \text { 等价于 } P=1, Q=0 .
\end{gathered}
$$

例如，构造由 $P, Q, R$ 组成的复合命题 $S$ ，使它具有如表 1.5 所示的真值表．
 ![图片](/uploads/2025-03/b77aaa.jpg)
 
 我们的办法是先构造出一些辅助命题 $S_1 \cdots S_8$（三个简单命题有八个取值组），使命题 $S_i$ 在第 $i$ 行的值为 0 ，其余各行的值均为 1 。其次要看构造的命题 $S$ 在哪些行的值为 0 ，这里 $S$ 在 $1,3,4,5,7$ 行的值为 0 。如果 $S$ 只在第 $i_1$ 行，第 $i_2$ 行，$\cdots$ ，第 $i_i$ 行的值为 0 ，那么由结论（2）可知：命题 $S_{i_1} \wedge S_{i_2} \wedge \cdots \wedge S_{i_2}$只在第 $i_1$ 行，第 $i_2$ 行，$\cdots$ ，第 $i_l$ 行的值为 0 ，因此，$S_{i_1} \wedge S_{i_2} \wedge \cdots$ $\wedge S_{i_r}$ 就是符合预先给定真值表的复合命题。

当 $l>4$ 时（即大于取值组个数的一半），我们也可以从 $S$的否定命题 ${ }^{\prime} S$ 去考

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