最后更新: 2025-03-09 09:03 查看: 104 次反馈同步训练

土耳其商人和帽子的故事

## 土耳其商人和帽子的故事
这是著名物理学家爱因斯坦出过的一一道题．
一个土耳其商人，想找一个十分聪明的助手协助他经商，有两个人前来应聘。这个商人为了试一试哪一个聪明些，就把两个人带进一间漆黑的屋子里，他打开电灯后说：＂这张桌子上有五顶帽子，两顶是红色的，三顶是黑色的。现在，我把灯关掉，而且把帽子摆的位置弄乱，然后我们三个人每人摸一顶帽子戴在头上，在我开灯后，请你们尽快地说出自己头 已戴的帽子是什么颜色的。＂说完之后，商人将电灯关掉，然后三人都摸了一顶帽子戴在头上，同时商人将余下的两顶帽子藏了起来，接着把电灯打开．这时，那两个应试者看到商人头上戴的是一顶红帽子，过了一会儿，其中一个人便喊到：＂我戴的是黑帽子．＂

请问这个人猜得对吗？是怎么推导出来的？
前面，我们提出了三种基本逻辑运算，可分别称为析取 $(V)$ ，合取 $(\wedge)$ 和否定 $(\neg)$ 。还有两种运算：蕴涵运算 $(\rightarrow)$ 和等值运算 $(\leftrightarrow)$ ．可分别由表 2.1 和表 2.2 来定义：
 ![图片](/uploads/2025-03/0b7893.jpg)
 
 对于命题 $P$ 与 $Q$ ，＂若 $P$ 则 $Q$＂称为条件命题，记作 $P \rightarrow$ $Q$ ，它的含义也规定为复合命题 $\neg P \vee Q$ ，即 $P \rightarrow Q=\neg P \vee Q$ 。由真值表 2.1 可见：在条件命题 $P \rightarrow Q$ 中，如果条件 $P$ 为假 $(0)$ ，那么 $P \rightarrow Q$ 恒为真；如果条件 $P$ 为真（ 1 ），那么 $P \rightarrow Q$ 的真假决定于结论 $Q$ 的真假。

因为由定义 $P \rightarrow Q=\neg P \vee Q$ ，所以＂$\rightarrow$＂不是一种新的运算，但由于＂若 $\cdots$ 则 $\cdots$＂的形式是人们常用的语言，所以把它当作一种重要运算，在进行推理时常常是方便的。

如果命题 $P \rightarrow Q$ 恒真，即 $P \rightarrow Q=1$ ，则称 $P$ 蕴涵 $Q$ ，故也称＂$\rightarrow$＂为蕴涵运算，当 $P \rightarrow Q=1$ 时，也记成 $P \Rightarrow Q$ ，这正是我们数学书上常遇到的情形．严格说，$P \Rightarrow Q$ 不是命题，而是 $P$与 $Q$ 之间的一种关系。

对于命题 $P$ 和 $Q$ ，当且仅当命题 $P$ 和 $Q$ 真值相等时，称为等值（即 $P$ 与 $Q$ 同真假），记为 $P \leftrightarrow Q$ 。当 $P \leftrightarrow Q$ 是真的，即 $P \leftrightarrow Q=1$ 时，也称 $P \leftrightarrow Q$ 为**恒真命题**．

我们利用上述五种运算和数学上的括号，可以构成各种符号序列，我们称之为公式，这里一切公式都应满足下述要求：
（1）一切变项 $P, Q, R, \cdots$ 是公式；
（2）如果 $P, Q, R$ 是公式，那么 $\neg P, P \wedge Q, P \vee Q, P \rightarrow Q$ ， $P \leftrightarrow Q$ 也是公式；
（3）除由（1），（2）两条规则建立起来的符号序列外都不是公式。

在建立的公式中，真值联结词按照结合力由强到弱顺序排列为：$\neg, \wedge, \vee, \rightarrow, ~ \rightarrow$ 。

任何公式（复合命题）都有相应的真值形式。无论公式 $P$ ， $Q$ 的真值如何，其组成的最后公式始终得到真的值，这样的真值形式叫做**重言式**的真值形式，简称重言式．比如公式 $(P \rightarrow$ $Q) \leftrightarrow \neg(P \wedge \neg Q)$ ．它的真值表如表 2．3，故此公式为重言式．
 ![图片](/uploads/2025-03/4a321b.jpg)
 
 普通逻辑中的各种复合推理形式，在命题逻辑中都可以表示为相应的真值形式，因此可以运用真值形式来反映一个推理的形式结构．在普通逻辑中常用图表示推理形式，用图表示可写成：
 
 $$
\frac{P \rightarrow Q, P}{Q}
$$

横线上为两个前提，横线以下是结论，前提和结论之间存在着蕴涵关系．用蕴涵式表达：蕴涵式的前件是各个前提的合取，后件则是结论。这样这个图式的蕴涵式是

$$
(P \rightarrow Q) \wedge P \rightarrow Q
$

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