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观察者的速译

## 观察者的速译
一位观测者看着自己面前缓缓移动的纸带上的数字，他必须按照指令把某些数字除掉。指令的内容是：＂把能被 3 整除，末尾是 0 ，各位数字之和大于 31 的数消除；把不能被 3 整除，末尾是 0，各位数字之和小于 31 的数消除；把能被 3 整除，末尾是 0 ，各位数字之和小于 31 的数消除，把不能被 3 整除，末尾是 0 ，各位数字之和大于 31 的数消除；把能被 3 整除，末尾不是 0 ，各位数字之和大于 31 的数消除。＂

这么一长串烦琐的指令，任何人都要费一番脑筋才能记住。但这位观测者只用了几个符号，列出并变换了一下式子，很快就完整无误地把全部指令表达出来了。试问这是什么指令？

在代数系统中的布尔代数，当用它来研究命题之间关系时，就是**命题代数**。这样对于命题逻辑中的基本概念和推理等，都可用命题代数去表示和研究。

命题代数和普通代数一样，也用字母 $A, B, C$ 等表示变量（命题），称为**逻辑变量**．它的取值只有两种可能性——＂ 0 ＂ （假）或＂ 1 ＂（真）。

命题代数也有三种相应的运算，称为**逻辑运算**，其中逻辑加用＂＋＂或＂$V$＂表示；逻辑乘用＂•＂或＂$\wedge$＂表示；逻辑非用 ＂－＂或＂つ＂表示，这三种运算也称基本逻辑运算．它们的真值表（也是定义）如表 3.1 所示．
 ![图片](/uploads/2025-03/836206.jpg)
 
 在命题逻辑中，从公理化出发，可以推出一些等值公式，相应地在命题代数中，逻辑运算满足以下的运算律：。
（1）交换律：

$$
A+B=B+A, \quad A \cdot B=B \cdot A
$$

（2）结合律：

$$
\begin{aligned}
& (A+B)+C=A+(B+C) \\
& (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C)
\end{aligned}
$$

（3）分配律：

$$
\begin{aligned}
& A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C \\
& A+(B \cdot C)=(A+B) \cdot(A+C)
\end{aligned}
$$

（4）0－1 律：

$$
\begin{array}{ll}
A+0=A, & A+1=1 \\
A \cdot 1=A, & A \cdot 0=0
\end{array}
$$

（5）互补律：

$$
A+\bar{A}=1, \quad A \cdot \bar{A}=0
$$

（6）等幕律：

$$
A+A=A, \quad A \cdot A=A
$$

（7）反演律：

$$
\overline{A+B}=\bar{A} \cdot \bar{B}, \quad \bar{A} \cdot \bar{B}=\bar{A}+\bar{B}
$$

（8）对合律：

$$
A=A .
$$

因为逻辑变量取值只有两个，故这些运算律都可用真值表验证。

应用运算律可以把一个复合命题（这里称逻辑式）等值变换和化简，其中有几个常用的等值公式（公式中把 $A \cdot B$ 简记为 $A B$ ）是：
（1）$A+A B=A$ ；
（2）$A+\bar{A} B=A+B$ ；
（3）$A B+A \bar{B}=A$ ；
（4）$A B+\bar{A} C+B C D=A B+\bar{A} C$ ；
（5）$\overline{A B+\bar{A} C}=A \bar{B}+\bar{A} \bar{C}$ ．
这些公式容易由运算律得到。

例如，语句：＂老王没有上火车站去接他是不对的，而他没有在火车站等老王也是不对的。＂

我们设命题 $P$ ：＂老王上火车站去接他＂，$Q$ ：＂他在火车站等老王＂，则上述语可用命题逻辑可表示为：$\neg(\neg P) \wedge$ $\neg(\neg Q)$ ，用逻辑代数可表示为：$P \cdot Q$ ，由运算律（8）可化为； $P \cdot Q$ ，即上述语句的确切含义可简洁叙述为：＂老王应到火车站去接他，而他应在火车站等老王＂。

对于我们的观测者所遇到的复杂的指令，可用逻辑式 $X$表示如下。令
$A$ ：被 3 整除，则 $\bar{A}$ ：不被 3 整除；
$B$ ：末尾是 0 ，则 $\bar{B}$ ：末尾不是 0 ；
$C$ ：各位数字之和大于 31 的数，则 $\bar{C}$ ：各位数字之和小于 31 的数．
于是由逻辑运算的意义，就有：

$$
X=A B C+\bar{A} B \bar{C}+A B \bar{C}+\bar{A} B C+A \bar{B} C
$$

由运算律，对 $X$ 进行如下变换：

$$
X=(A B C+A B \bar{C})+(\bar{A} B \bar{C}+\bar{A} B C)+(A \bar{B} C+A B C)
$$

$$
\begin{aligned}
& =A B(C+\bar{C})+\bar{A} B(\bar{C}+C)+A C(\bar{B}+B) \\
& =A B+\bar{A} B+A C \\
& =B(A+\bar{A})+A C \\
& =B+A C
\end{aligned}
$$

于是上面复杂的指令就成为：
＂把末位是 0 或者能被 3 整除且各位数字之和大于 31 的数消除＂．

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