最后更新: 2025-03-09 09:07 查看: 85 次反馈同步训练

观察者的速译

## 观察者的速译
一位观测者看着自己面前缓缓移动的纸带上的数字，他必须按照指令把某些数字除掉。指令的内容是：＂把能被 3 整除，末尾是 0 ，各位数字之和大于 31 的数消除；把不能被 3 整除，末尾是 0，各位数字之和小于 31 的数消除；把能被 3 整除，末尾是 0 ，各位数字之和小于 31 的数消除，把不能被 3 整除，末尾是 0 ，各位数字之和大于 31 的数消除；把能被 3 整除，末尾不是 0 ，各位数字之和大于 31 的数消除。＂

这么一长串烦琐的指令，任何人都要费一番脑筋才能记住。但这位观测者只用了几个符号，列出并变换了一下式子，很快就完整无误地把全部指令表达出来了。试问这是什么指令？

在代数系统中的布尔代数，当用它来研究命题之间关系时，就是**命题代数**。这样对于命题逻辑中的基本概念和推理等，都可用命题代数去表示和研究。

命题代数和普通代数一样，也用字母 $A, B, C$ 等表示变量（命题），称为**逻辑变量**．它的取值只有两种可能性——＂ 0 ＂ （假）或＂ 1 ＂（真）。

命题代数也有三种相应的运算，称为**逻辑运算**，其中逻辑加用＂＋＂或＂$V$＂表示；逻辑乘用＂•＂或＂$\wedge$＂表示；逻辑非用 ＂－＂或＂つ＂表示，这三种运算也称基本逻辑运算．它们的真值表（也是定义）如表 3.1 所示．
 ![图片](/uploads/2025-03/836206.jpg)
 
 在命题逻辑中，从公理化出发，可以推出一些等值公式，相应地在命题代数中，逻辑运算满足以下的运算律：。
（1）交换律：

$$
A+B=B+A, \quad A \cdot B=B \cdot A
$$

（2）结合律：

$$
\begin{aligned}
& (A+B)+C=A+(B+C) \\
& (A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C)
\end{aligned}
$$

（3）分配律：

$$
\begin{aligned}
& A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C \\
& A+(B \cdot C)=(A+B) \cdot(A+C)
\end{aligned}
$$

（4）0－1 律：

$$
\begin{array}{ll}
A+0=A, & A+1=1 \\
A \cdot 1=A, & A \cdot 0=0
\end{array}
$$

（5）互补律：

$$
A+\bar{A}=1, \quad A \cdot \bar{A}=0
$$

（6）等幕律：

$$
A+A=A, \quad A \cdot A=A
$$

（7）反演律：

$$
\overline{A+B}=\bar{A} \cdot \bar{B}, \quad \bar{A} \cdot \bar{B}=\bar{A}+\bar{B}
$$

（8）对合律：

$$
A=A .
$$

因为逻辑变量取值只有两个

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