最后更新: 2025-03-29 08:19 查看: 1228 次反馈同步训练

利用极限定义证明

## 利用极限定义证明

>本节内容通常用于数学系的严格论证。

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{x^2+2}=2$.
证明 $\forall \varepsilon>0$ ，要使

$$
|f(x)-A|=\left|\frac{x^2}{2 x^2+1}-2\right|=\frac{4}{2 x^2+1}<\frac{4}{|x|}<\varepsilon(|x|>1)
$$

即 $|x|>\frac{4}{\varepsilon}$
取 $X=\max \left\{1, \frac{4}{\varepsilon}\right\}$ ，则当 $|x|>X$ 时，恒有

$$
|f(x)-A|=\left|\frac{2 x^2}{x^2+2}-2\right|<\varepsilon ，
$$

即 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x^2}{x^2+2}=2$

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow 1}(4 x-1)=3$.
证明 $\forall \varepsilon>0$ ，要使

$$
|f(x)-A|=|4 x-1-3|=4|x-1|<\varepsilon
$$

只要 $|x-1|<\frac{\varepsilon}{4}$ ，取 $\delta=\frac{\varepsilon}{4}$ ，则当 $0<|x-1|<\delta$ 时，有

$$
\begin{gathered}
|f(x)-A|=|4 x-1-3|<\varepsilon \\
\lim _{x \rightarrow 1}(4 x-1)=3
\end{gathered}
$$

## 极限计算方法

`例` 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^n, a, b>0$ ．
解 先求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}}{2}\right)^x\left(1^{\infty}\right.$ 型）．$I=\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{2}\right)^x$ ，又

$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{2} \cdot x=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^{\frac{1}{x}}+b^{\frac{1}{x}}-2}{x^{-1}}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(a^{\frac{1}{x}} \ln a+b^{\frac{1}{x}} \ln b\right) \cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{-\frac{1}{x^2}}=\frac{1}{2} \ln a b=\ln \sqrt{a b},
$$

以 $I= e ^{\ln \sqrt{a b}}=\sqrt{a b}$ ．因为数列可看作函数的子序列，所以原式 $=\sqrt{a b}$ ．

利用有界性计算极限，参考下例
`例` 设 $x_1=1, x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
解 $x_1=1, x_2=1+\frac{x_1}{x_1+1}=1+\frac{1}{2}>x_1$ ，设 $x_n>x_{n-1}$ ，验证 $x_{n+1}>x_n$ ．
因 $x_{n+1}-x_n=1+\frac{x_n}{1+x_n}-\left(1+\frac{x_{n-1}}{1+x_{n-1}}\right)=\frac{x_n-x_{n-1}}{\left(1+x_n\right)\left(1+x_{n-1}\right)}>0$ ，所以 $\left\{x_n\right\}$ 单增．又 $x_n=1+\frac{\left(x_{n-1}+1\right)-1}{x_{n-1}+1}=2-\frac{1}{x_{n-1}+1}<2,\left\{x_n\right\}$ 有上界，故 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在．设 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=l$ ，在 $x_n=1+\frac{x_{n-1}}{x_{n-1}+1}$ 两边取 $n \rightarrow \infty$ 时的极限，得

$ l=1+\frac{l}{l+1} \Rightarrow l_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}, l_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2} $
舍去复数，所以

$\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $

用定积分求极限
`例` 设 $s_n=1+2 x+3 x^2+\cdots+n x^{n-1}$ ，当 $|x|<1$ 时，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_n$ ．

解

$$
\begin{aligned}
s_n & =\left(1+x+x^2+\cdots+x^n\right)^{\prime}=\left(\frac{1-x^{n+1}}{1-x}\right)^{\prime}=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{(n+1) x^n(1-x)+x^{n+1}}{(1-x)^2} \\
& =\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{(n+1) x^n-n x^{n+1}}{(1-x)^2} .
\end{aligned}
$$

因为 $|x|<1, \lim _{

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