最后更新: 2025-03-29 08:21 查看: 720 次反馈同步训练

数列极限与函数极限的性质

## 数列极限的性质
### 极限的唯一性
数列 $\left\{x_n\right\}$ 不能收敛于两个不同的极限.

证明 (反证法) 假设同时有 $x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ 及 $x_n \rightarrow b(n \rightarrow \infty)$ 不妨设 $a<b$ ， 取 $\varepsilon=\frac{b-a}{2}>0$.
由 $x_n \rightarrow a$ 可知， $\exists N_1>0$ ，当 $n>N_1$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon=\frac{b-a}{2}\left(x_n<\frac{a+b}{2}\right)$ 由 $x_n \rightarrow b$ 可知， $\exists N_2>0$ ，当 $n>N_2$ 时，恒有 $\left|x_n-b\right|<\varepsilon=\frac{b-a}{2}\left(x_n>\frac{a+b}{2}\right)$ 取 $N=\max \left\{N_1, N_2\right\}$ ，当 $n>N$ 时， $x_n<\frac{a+b}{2^{\prime}} x_n>\frac{a+b}{2}$ 同时成立，矛盾.
因此，数列 $\left\{x_n\right\}$ 不能收敛于两个不同的极限.

数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界是指存在 $M>0$ ， 使一切 $x_n$ 满足 $\left|x_n\right| \leq M$.

### 收敛数列的有界性
如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则该数列一定有界.
证明 不妨设 $x_n \rightarrow a(n \rightarrow \infty)$ ，则 $\forall \varepsilon>0 \quad \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$. 取 $\varepsilon=1$ ，则任何 $n>N$ ，有 $\left|x_n\right|=\left|\left(x_n-a\right)+a\right| \leq\left|x_n-a\right|+|a|<1+|a|$.
因此，取 $M=\max \left\{\left|a_1\right|,\left|a_2\right|, \cdots,\left|a_N\right|, 1+|a|\right\}$ ，则对一切 $n$ ，均有 $\left|x_n\right| \leq M$ ， 即数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界.
如果数列无界， 则其一定发散； 如果数列有界， 则其末必收敛．例如， 数列 $\left\{(-1)^n\right\}$ 有界 $\left|x_n\right|=1$ ，但发散.

在数列 $\left\{x_n\right\}$ 中任意抽取无限项并保持这些项在原数列 $\left\{x_n\right\}$ 中的先后次序， 由此得 到的一个新数列称为 $\left\{x_n\right\}$ 的子数列(子列)，记作 $\left\{x_{n_k}\right\} \quad\left(n_k \geq k\right)$.
定理 4 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ ，则它的子数列 $\left\{x_{n_k}\right\}$ 也收敛于 $a$.
证明 由数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛于 $a$ ，则
$\forall \varepsilon>0 ， \exists N>0$ 当 $n>N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right|<\varepsilon$.
取 $K=N$ ，则当 $k>K$ 时， $n_k>n_K=n_N>N$ ，有

$$
\left|x_{n_k}-a\right|<\varepsilon_1
$$

故子数列 $\left\{x_n\right\}$ 也收敛于 $a$.

### 数列收敛的一致性
可以得到，若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的某个子列发散或某两个子列收敛于两个不同 的数值，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 必发散.
例如， $\left\{(-1)^n\right\}$ 的奇数子列 $\left\{(-1)^{2 n+1}\right\}=\{-1\}$ 收玫于 $-1$ ，偶数子列 $\left\{(-1)^{2 n}\right\}=\{1\}$ 收敛于 1 ，可知数列 $\left\{(-1)^n\right\}$ 发散.
可以证明: 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的奇数子列 $\left\{x_{2 n+1}\right\}$ 和偶数子列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 均收敛于 $a$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛且极限为 $a$ ，反之亦然.

## 函数极限的性质
我们仅就 $x \rightarrow x_0$ 的情况给出性质.
### 函数极限的唯一性
如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，那么该极限唯一. 证明过程与数列极限的唯一性的证明相似，略.

### 函数极限的局部有界性
如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ ，那么存在常数 $M>0$ 和 $\delta>0(X>0)$ ， 使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta \quad$ 时， 有 $|f(x)| \leq M$.
证明 设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ，则 $\forall \varepsilon>0 ， \exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon$.
取 $\varepsilon=1$ ，则

$$
|f(x)|=|f(x)-A+A| \leq|f(x)-A|+|A|<1+|A|
$$

记 $M=1+|A|$ ，则 $|f(x)| \leq M$.

### 函数极限的局部保号性
如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ，且 $A>0$ (或 $A<0$ )，那么 存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有 $f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ ).
证明 设 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A ， A>0$ ，
取 $\varepsilon=\frac{A}{2}$ ，则 $\exists \delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，恒有 $|f(x)-A|<\varepsilon=\frac{A}{2}$.
则 $f(x)>A-\frac{A}{2}=\frac{A}{2}>0$
同理可证 $A<0$ 情形.

从定理 的证明中可知，在其条件下，还可有更强的结论:

**推论1** 如果 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A \quad(A \neq 0)$ ，那么存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时，有

$$
|f(x)|>\frac{|A|}{2} \text {. }
$$

同时有下述结论.
**推论2** 如果函数 $f(x)$ 满足: 存在 $\delta>0$ ，使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时， $f(x)>0$ (或 $f(x)<0$ )，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ ， 那么必有 $A \geq 0$ (或 $A \leq 0$ ).
证明(反证法) 略.

## 函数极限与数列极限的关系
若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在， $\left\{x_n\right\}$ 为 $f(x)$ 的定义域内 的任一收敛于 $x_0$ 的数列，且 $x_n \neq x_0(n \in \mathbf{N})$ ，则 $\left\{f\left(x_n\right)\right\}$ 收敛，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)=\li

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