最后更新: 2025-03-14 07:38 查看: 142 次反馈同步训练

过渡矩阵

## 物体的参照物
在高中，都学习过物体的参照物，我们常说“地球绕着太阳转”，其实默认了太阳是静止的，而地球是运动的，同样这个运动，如果我们以地球为参照物，也可以说是太阳绕着地球转，但是可以发现，两者方向正好相反。所以，旋转参照物不同，所得的结果并不一定相同，这个参照物，就是数学中说的基，而物体的速度类似物体的坐标。

## 坐标轴平移
不改变坐标轴的方向和长度单位，只变换原点的位置，这种坐标系的变换叫做**坐标轴的平移**，简称移轴．
给定一坐标系$OXY$, 平移坐标轴得到新坐标系$O'X'Y'$, 下面我们来确定平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系（图6.27）．

![图片](/uploads/2025-03/183ac5.jpg)
 
 设$O'$在坐标系$OXY$中的坐标为$(h,k)$, 则在坐标系$OXY$中
 $\vec{OO'}=(h,k),\qquad \vec{OP}=(x,y),\qquad \vec{O'P}=(x',y') $因为$\vec{OP}=\vec{OO'}+\vec{O'P}$，所以 $(x,y)=(h,k)+(x',y') $
 
即：

$ x=x'+h,\qquad y=y'+k$

或

$x'=x-h,\qquad y'=y-k$

公式(6.19), (6.20)叫做**平移公式**或移轴公式．

`例`平移坐标轴，化简圆的方程$x^2+y^2+2x-6y+6=0$
解： 把已知圆的方程配方得 $ (x+1)^2+(y-3)^2=4 $ 设它上面任一点的新坐标为
$(x',y')$, 平移坐标轴使
 $x'=x+1,\qquad y'=y-3 $
即：$x=x'-1,\qquad y=y'+3$，代入(6.21)，得到新方程为(图6.28)
 ${x'}^2+{y'}^2=4 $
  ![图片](/uploads/2024-05/dcfc75.jpg)
  
  从例6.15可以看出，适当地变换坐标系，可以使曲线的方程简化．由于曲线的几何性质与我们选取的坐标系无关．所以，我们研究曲线时，总是想法选择能使曲线方程最为简单的坐标系，以便于我们研究曲线的性质．

## 坐标轴的旋转
不改变坐标轴的原点和长度单位，只是坐标轴绕原点转一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称转轴．

给定一坐标系，坐标轴绕原点$O$转$\theta$角，得到一新坐标
系$OX'Y'$(图6.29). 下面我们来确定平面上任一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．

设$\vec{e}_{x},\vec{e}_{y}$和$\vec{e}_{x'},\vec{e}_{y'}$分别是两个坐标系中的基向 
量，则
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P} & =x \vec{e}_x+y \vec{e}_y=x^{\prime} \vec{e}_{x^{\prime}}+y^{\prime} \vec{e}_{y^{\prime}} \\
\vec{e}_{x^{\prime}} & =\cos \theta \vec{e}_x+\sin \theta \vec{e}_y \\
\vec{e}_{y^{\prime}} & =\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_x+\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_y=-\sin \theta \vec{e}_x+\cos \theta \vec{e}_y
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-05/f47b0b.jpg)
代入上式，得
 $x eX+y eY=(x'\cos\theta-y'\sin\theta) eX+(x'\sin\theta+y'\cos\theta) eY $
所以：
 $$
    \boxed{\begin{cases}
        x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\
        y=x'\sin\theta+y'\cos\theta
    \end{cases}}  ...(6.22)
 $$

由(6.22)解出$x',y'$得
$$
    \boxed{\begin{cases}
        x'=x\cos\theta+y\sin\theta\\
        y'=-x\sin\theta+y\cos\theta
    \end{cases}} ...(6.23)
$$

(6.22)式是用新坐标来表示原坐标的公式，(6.23)式是用原坐标来表示新坐标的公式，它们统称为{旋转公式或转轴公式．

## 一般的坐标变换公式
设$OXY$, $O'X'Y'$是两个坐标系（图6.31），$O'$在坐标系$OXY$中的坐标是$(h,k)$, 容易看出，把坐标系$OXY$作移轴变换，把原点$O$移到$O'(h,k)$得到坐标系$O'XY$然后再绕$O'$旋转$\theta$角就可得到坐标系
$O'X'Y'$, 这就说，上述的一般的坐标变换是平移与旋转的合成．下面我们来确定，平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．
 ![图片](/uploads/2024-05/ad09cb.jpg)
 
 
设 $OXY$ 经过移轴后得到的坐标系为$O'XY$
（图6.31），则由平移公式，得
$$
\begin{cases}
    x=x''+h\\
    y=y''+k
\end{cases}
$$
再由旋转公式，得
$$
    \begin{cases}
        x''=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\

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