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过渡矩阵

## 物体的参照物
在高中，都学习过物体的参照物，我们常说“地球绕着太阳转”，其实默认了太阳是静止的，而地球是运动的，同样这个运动，如果我们以地球为参照物，也可以说是太阳绕着地球转，但是可以发现，两者方向正好相反。所以，旋转参照物不同，所得的结果并不一定相同，这个参照物，就是数学中说的基，而物体的速度类似物体的坐标。

> 关于过度矩阵更详细介绍请参考 [坐标变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=490)

## 坐标轴平移
不改变坐标轴的方向和长度单位，只变换原点的位置，这种坐标系的变换叫做**坐标轴的平移**，简称移轴．
给定一坐标系$OXY$, 平移坐标轴得到新坐标系$O'X'Y'$, 下面我们来确定平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系（图6.27）．

![图片](/uploads/2025-03/183ac5.jpg)
 
 设$O'$在坐标系$OXY$中的坐标为$(h,k)$, 则在坐标系$OXY$中
 $\vec{OO'}=(h,k),\qquad \vec{OP}=(x,y),\qquad \vec{O'P}=(x',y') $因为$\vec{OP}=\vec{OO'}+\vec{O'P}$，所以 $(x,y)=(h,k)+(x',y') $
 
即：

$ x=x'+h,\qquad y=y'+k$

或

$x'=x-h,\qquad y'=y-k$

公式(6.19), (6.20)叫做**平移公式**或移轴公式．

`例`平移坐标轴，化简圆的方程$x^2+y^2+2x-6y+6=0$
解： 把已知圆的方程配方得 $ (x+1)^2+(y-3)^2=4 $ 设它上面任一点的新坐标为
$(x',y')$, 平移坐标轴使
 $x'=x+1,\qquad y'=y-3 $
即：$x=x'-1,\qquad y=y'+3$，代入(6.21)，得到新方程为(图6.28)
 ${x'}^2+{y'}^2=4 $
  ![图片](/uploads/2024-05/dcfc75.jpg)
  
  从例6.15可以看出，适当地变换坐标系，可以使曲线的方程简化．由于曲线的几何性质与我们选取的坐标系无关．所以，我们研究曲线时，总是想法选择能使曲线方程最为简单的坐标系，以便于我们研究曲线的性质．

## 坐标轴的旋转
不改变坐标轴的原点和长度单位，只是坐标轴绕原点转一角度，这种坐标系的变换叫做坐标轴的旋转，简称转轴．

给定一坐标系，坐标轴绕原点$O$转$\theta$角，得到一新坐标
系$OX'Y'$(图6.29). 下面我们来确定平面上任一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．

设$\vec{e}_{x},\vec{e}_{y}$和$\vec{e}_{x'},\vec{e}_{y'}$分别是两个坐标系中的基向 
量，则
$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O P} & =x \vec{e}_x+y \vec{e}_y=x^{\prime} \vec{e}_{x^{\prime}}+y^{\prime} \vec{e}_{y^{\prime}} \\
\vec{e}_{x^{\prime}} & =\cos \theta \vec{e}_x+\sin \theta \vec{e}_y \\
\vec{e}_{y^{\prime}} & =\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_x+\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) \vec{e}_y=-\sin \theta \vec{e}_x+\cos \theta \vec{e}_y
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2024-05/f47b0b.jpg)
代入上式，得
 $x eX+y eY=(x'\cos\theta-y'\sin\theta) eX+(x'\sin\theta+y'\cos\theta) eY $
所以：
 $$
    \boxed{\begin{cases}
        x=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\
        y=x'\sin\theta+y'\cos\theta
    \end{cases}}  ...(6.22)
 $$

由(6.22)解出$x',y'$得
$$
    \boxed{\begin{cases}
        x'=x\cos\theta+y\sin\theta\\
        y'=-x\sin\theta+y\cos\theta
    \end{cases}} ...(6.23)
$$

(6.22)式是用新坐标来表示原坐标的公式，(6.23)式是用原坐标来表示新坐标的公式，它们统称为{旋转公式或转轴公式．

## 一般的坐标变换公式
设$OXY$, $O'X'Y'$是两个坐标系（图6.31），$O'$在坐标系$OXY$中的坐标是$(h,k)$, 容易看出，把坐标系$OXY$作移轴变换，把原点$O$移到$O'(h,k)$得到坐标系$O'XY$然后再绕$O'$旋转$\theta$角就可得到坐标系
$O'X'Y'$, 这就说，上述的一般的坐标变换是平移与旋转的合成．下面我们来确定，平面上任意一点$P$的新坐标$(x',y')$与原坐标$(x,y)$之间的关系．
 ![图片](/uploads/2024-05/ad09cb.jpg)
 
 
设 $OXY$ 经过移轴后得到的坐标系为$O'XY$
（图6.31），则由平移公式，得
$$
\begin{cases}
    x=x''+h\\
    y=y''+k
\end{cases}
$$
再由旋转公式，得
$$
    \begin{cases}
        x''=x'\cos\theta-y'\sin\theta\\
        y''=x'\sin\theta+y'\cos\theta
    \end{cases}
$$
把(6.25)代入(6.24)，得
$$
    \boxed{\begin{cases}
        x=x'\cos\theta-y'\sin\theta+h\\
        y=x'\sin\theta+y'\cos\theta+k
    \end{cases} } 
$$

由(6.26)式解出$x',y'$又可得
$$
\boxed{\begin{cases}
    x'=(x-h)\cos\theta+(y-k)\sin\theta\\
    y'=-(x-h)\sin\theta+(y-k)\cos\theta
\end{cases} }
$$
(6.26), (6.27)两个公式就是**一般的坐标变换公式**．公式(6.26)是
通过新坐标来表示原坐标，公式(6.27)是通过原坐标来表示新
坐标．

## 坐标与坐标系的选择
准确描述：坐标系的变换与点的坐标变换互为逆变换．还有个原点对应平移变换．

**1）点的坐标变换**：点 $P$ 在 $A$ 系统坐标 $(x, y, z)^A$ ，而到 $B$ 系统后，它的新坐标 $\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)^B$ ，即 $(x, y, z)^A \rightarrow\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)^B$ ；

**2）坐标系变换**（原点变换+坐标轴变换/基变换）：$O \rightarrow O^{\prime} ; e_1, e_2, e_3 \rightarrow e_1^{\prime}, e_2^{\prime}, e_3^{\prime}$ ．

其中，$A$坐标系统 $A\left[O ; e _1, e _2, e _3\right], ~ O(0,0,0)^A, e _1, e _2, e _{ 3 }$ 分别是 $x, y, z$ 轴单位向量；

$B$ 坐标系统 $B\left[O^{\prime} ; e _1^{\prime}, e _2^{\prime}, e _3^{\prime}\right], O^{\prime}(0,0,0)^B=O^{\prime}\left(x_0, y_0, z_0\right)^A, e _1^{\prime}, e _2^{\prime}, e _3^{\prime}$ 分别是 $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$轴单位向量；

注：$(x, y)^A$ 指A系统下坐标，$(x, y)^B$ 指B系统下坐标．

**原点变换**，本质是平移变换，即 $O \rightarrow O^{\prime}$ ；

**基变换**，本质是向量变换，也是旋转变换 ，让 $A$ 系统坐标轴旋转到与 $B$ 系统坐标轴平行．
也就是说，直角坐标系变换是基变换（先旋转）与原点变换（后平移）的**复合变换**．

当一个向量在一个坐标系下表示的坐标为$A$,在另外一个坐标系下表示的是$B$，那么由$A$到$B$的转换，可以通过乘以一个矩阵实现，这个矩阵就是**过渡矩阵**。

设 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 与 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 的两个基，存在系数矩阵 $P_{n \times n}$ ，使得

$$
\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n\right)=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) P \text {, }
$$

矩阵 $\boldsymbol{P}_{n \times n}$ 称为从基 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 到基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 的过渡矩阵.
显然，从基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 到基 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_n$ 的过渡矩阵 $P_{n \times n}$ 是可逆矩阵.

关于过渡矩阵的介绍，请参考 [过渡矩阵视频](https://mp.weixin.qq.com/s/0SnIaROLfHWDgJ4DFlOcNA)

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