最后更新: 2025-03-15 08:39 查看: 348 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

平移矩阵，旋转矩阵，缩放矩阵，线性变换，仿射变换，齐次坐标

> 阅读本文前，最好理解了 [矩阵乘法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1380)
在计算机图形学里，大量应用矩阵，这里介绍几个常见的变换。

## 图形缩放

缩放变换中，如果一个图片以原点 $(0,0)$ 为中心缩放 $s$ 倍。那么点 $(x, y)$ 变换后数学形式可以表示为

$$
\begin{aligned}
& x^{\prime}=s x \\
& y^{\prime}=s y
\end{aligned}
$$

写成矩阵形式为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

当然，我们也可以给 x 轴和 y 轴不同的缩放倍数 $s x$ 和 $s y$ 。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为

$$
\boxed{
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] ...(\text{图像缩放公式})
}
$$

下图展示了图像缩放示意图
 ![图片](/uploads/2025-03/802f48.jpg){width=600px}
 
  
 `例` 下面矩阵乘法显示一个向量$[1,1]$ 乘以一个矩阵后，变成 $[2,1]$
 **一个向量左乘对角阵相当于对向量各维坐标值进行缩放，缩放的比例就是对角阵元素的值**。当然了，这里的向量缩放这里也可以看成坐标轴进行缩放，两者是等价的
 
 $$
 \left[\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right]
$$

从几何意义上看，向量从$\vec{AB}$ 变成$\vec{AC}$

你也可以从物理上理解，一个物体原先速度为$(1,1)$,他分解为最平速度为1，和垂直速度1，乘以矩阵后，水平速度变成了2，而垂直速度仍然是1.

![图片](/uploads/2025-03/f51577.jpg){width=300px}

## 图像旋转
 我们默认旋转变换（Rotate）都绕着原点$ (0, 0)$ 旋转，并且默认旋转方向为逆时针方向（逆时针方向旋转角度值为正，顺时针旋转角度值为负），当一个点 $(x,y)$绕着原点$(0,0)$旋转$\theta$角时，变换矩阵可以表示为：
 
 $$
 \boxed
 {
 \left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]  ...(\text{图像旋转公式})
}
$$
 
### 证明

我们在直角坐标系中绘制一个边长为 1 的正方形，点 $A$ 坐标为 $(1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0,1)$ 。正方形沿着原点 $(0,0)$ 旋转的角度为 $\theta$ 角 参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-03/09a917.jpg){width=500px}

我们设原坐标里任一点$(x,y)$ 经过旋转后，在新坐标为$(x',y')$,现在找一下新旧坐标系下“点”的关系。

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

接下来去两个特殊点，代入点 $A$ 的的值 $(1,0)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned}
& A=\cos \theta \\
& C=\sin \theta
\end{aligned}
$$

代人点 $B$ 的的值 $(0,1)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
-\sin \theta \\
\cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned} 
& B=-\sin \theta \\ 
& D=\cos \theta 
\end{aligned}
$$

因此，坐标旋转公式为
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

下图显示了一个图形旋转
 ![图片](/uploads/2025-03/4c1896.jpg){width=600px}

`例` 考虑$\theta=45^{\circ}$ 时, $\cos \theta=\sin \theta= \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,此时旋转矩阵$A$为
 
 
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]
$$

这意味着任何一个向量乘以该矩阵将旋转$45^{\circ}$

## 矩阵的旋转与缩放
在一维里，一个向量乘以$-1$表示逆时针旋转$180$度，在二维复平面里，引入了虚数单位$i$,当一个数乘以$i$后，相当于逆时针旋转$90$度。由此，可以对其扩展。

一个矩阵乘以一个向量, 一般将会对向量的几何图形进行旋转和伸缩变化。常见的一个例子就是旋转矩阵, 旋转矩阵只对向量进行旋转变化而没有伸缩变化。例如, 二阶旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ :

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

首先看一下旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对单位向量 $\boldsymbol{i}=(1,0), \boldsymbol{j}=(0,1)$ 的作用效果:

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A i}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\binom{1}{0}=\binom{\cos \theta}{\sin \theta} \\

\end{gathered}
$$

$$\quad$$

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A j}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\binom{0}{1}=\binom{-\sin \theta}{\cos \theta}=\binom{\cos (\theta+\pi / 2)}{\sin (\theta+\pi / 2)}
\end{gathered}
$$

再结合下图, 可以看出, 旋转矩阵对单位向量 $\boldsymbol{i} 、 \boldsymbol{j}$ 确实分别逆时针旋转了一个 $\theta$ 角度。旋转后的两个向量 $A i$ 和 $A j$ 保持长度不变和夹角不变。或者说，向量 $i \rightarrow A i$ 长度不变，角度逆时针增加了 $\theta$ 度；向量 $\boldsymbol{j} \rightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{j}$ 长度不变, 同时同向角度增加了 $\theta$ 度。

![图片](/uploads/2025-03/71eeda.jpg){width=600px}
 
 
 然后, 我们考察旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ 把任意向量 $\boldsymbol{c}$ 变换到 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{c}$ 的情形。对于任意向量 $\boldsymbol{c}$, 我们知道,可以分解为单位向量的线性表示:

$$
\boldsymbol{c}=\binom{c_1}{c_2}=c_1\binom{1}{0}+c_2\binom{0}{1}=c_1 \boldsymbol{i}+c_2 \boldsymbol{j}
$$

那么, 旋转矩阵作用于向量 $\boldsymbol{c}$ 的式子为

$$
\boldsymbol{A} \

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