最后更新: 2025-03-15 08:39 查看: 146 次反馈同步训练

平移矩阵，旋转矩阵，缩放矩阵，线性变换，仿射变换，齐次坐标

> 阅读本文前，最好理解了 [矩阵乘法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1380)
在计算机图形学里，大量应用矩阵，这里介绍几个常见的变换。

## 图形缩放

缩放变换中，如果一个图片以原点 $(0,0)$ 为中心缩放 $s$ 倍。那么点 $(x, y)$ 变换后数学形式可以表示为

$$
\begin{aligned}
& x^{\prime}=s x \\
& y^{\prime}=s y
\end{aligned}
$$

写成矩阵形式为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

当然，我们也可以给 x 轴和 y 轴不同的缩放倍数 $s x$ 和 $s y$ 。在非均匀情况下，缩放变换的矩阵形式为

$$
\boxed{
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
s_x & 0 \\
0 & s_y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right] ...(\text{图像缩放公式})
}
$$

下图展示了图像缩放示意图
 ![图片](/uploads/2025-03/802f48.jpg){width=600px}
 
  
 `例` 下面矩阵乘法显示一个向量$[1,1]$ 乘以一个矩阵后，变成 $[2,1]$
 **一个向量左乘对角阵相当于对向量各维坐标值进行缩放，缩放的比例就是对角阵元素的值**。当然了，这里的向量缩放这里也可以看成坐标轴进行缩放，两者是等价的
 
 $$
 \left[\begin{array}{ll}
2 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right]
$$

从几何意义上看，向量从$\vec{AB}$ 变成$\vec{AC}$

你也可以从物理上理解，一个物体原先速度为$(1,1)$,他分解为最平速度为1，和垂直速度1，乘以矩阵后，水平速度变成了2，而垂直速度仍然是1.

![图片](/uploads/2025-03/f51577.jpg){width=300px}

## 图像旋转
 我们默认旋转变换（Rotate）都绕着原点$ (0, 0)$ 旋转，并且默认旋转方向为逆时针方向（逆时针方向旋转角度值为正，顺时针旋转角度值为负），当一个点 $(x,y)$绕着原点$(0,0)$旋转$\theta$角时，变换矩阵可以表示为：
 
 $$
 \boxed
 {
 \left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]  ...(\text{图像旋转公式})
}
$$
 
### 证明

我们在直角坐标系中绘制一个边长为 1 的正方形，点 $A$ 坐标为 $(1,0)$ ，点 $B$ 坐标为 $(0,1)$ 。正方形沿着原点 $(0,0)$ 旋转的角度为 $\theta$ 角 参考下图。
 ![图片](/uploads/2025-03/09a917.jpg){width=500px}

我们设原坐标里任一点$(x,y)$ 经过旋转后，在新坐标为$(x',y')$,现在找一下新旧坐标系下“点”的关系。

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

接下来去两个特殊点，代入点 $A$ 的的值 $(1,0)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned}
& A=\cos \theta \\
& C=\sin \theta
\end{aligned}
$$

代人点 $B$ 的的值 $(0,1)$ 可以得到：

$$
\left[\begin{array}{c}
-\sin \theta \\
\cos \theta
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
A & B \\
C & D
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right]
$$

解方程得到：
$$
\begin{aligned} 
& B=-\sin \theta \\ 
& D=\cos \theta 
\end{aligned}
$$

因此，坐标旋转公式为
$$
A_{\text {rotate }}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

下图显示了一个图形旋转
 ![图片](/uploads/2025-03/4c1896.jpg){width=600px}

`例` 考虑$\theta=45^{\circ}$ 时, $\cos \theta=\sin \theta= \frac{\sqrt{2}}{2}$ ,此时旋转矩阵$A$为
 
 
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} &  \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right]
$$

这意味着任何一个向量乘以该矩阵将旋转$45^{\circ}$

## 矩阵的旋转与缩放
在一维里，一个向量乘以$-1$表示逆时针旋转$180$度，在二维复平面里，引入了虚数单位$i$,当一个数乘以$i$后，相当于逆时针旋转$90$度。由此，可以对其扩展。

一个矩阵乘以一个向量, 一般将会对向量的几何图形进行旋转和伸缩变化。常见的一个例子就是旋转矩阵, 旋转矩阵只对向量进行旋转变化而没有伸缩变化。例如, 二阶旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ :

$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]
$$

首先看一下旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ 对单位向量 $\boldsymbol{i}=(1,0), \boldsymbol{j}=(0,1)$ 的作用效果:

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A i}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\binom{1}{0}=\binom{\cos \theta}{\sin \theta} \\

\end{gathered}
$$

$$\quad$$

$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A j}=\left[\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right]\binom{0}{1}=\binom{-\sin \theta}{\cos \theta}=\binom{\cos (\theta+\pi / 2)}{\sin (\theta+\pi / 2)}
\end{gathered}
$$

再结合下图, 可以看出, 旋转矩阵对单位向量 $\boldsymbol{i} 、 \boldsymbol{j}$ 确实分别逆时针旋转了一个 $\theta$ 角度。旋转后的两个向量 $A i$ 和 $A j$ 保持长度不变和夹角不变。或者说，向量 $i \rightarrow A i$ 长度不变，角度逆时针增加了 $\theta$ 度；向量 $\boldsymbol{j} \rightarrow \boldsymbol{A} \boldsymbol{j}$ 长度不变, 同时同向角度增加了 $\theta$ 度。

![图片](/uploads/2025-03/71eeda.jpg){width=600px}
 
 
 然后, 我们考察旋转矩阵 $\boldsymbol{A}$ 把任意向量 $\boldsymbol{c}$ 变换到 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{c}$ 的情形。对于任意向量 $\boldsymbol{c}$, 我们知道,可以分解为单位向量的线性表示:

$$
\boldsymbol{c}=\binom{c_1}{c_2}=c_1\binom{1}{0}+c_2\binom{0}{1}=c_1 \boldsymbol{i}+c_2 \boldsymbol{j}
$$

那么, 旋转矩阵作用于向量 $\boldsymbol{c}$ 的式子为

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{c}=\boldsymbol{A}\left(c_1\binom{1}{0}+c_2\binom{0}{1}\right)=c_1 \boldsymbol{A}\binom{1}{0}+c_2 \boldsymbol{A}\binom{0}{1}=c_1 \boldsymbol{A} \boldsymbol{i}+c_2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{j}
$$

对比上式 ,上面提到，一个向量乘以旋转矩阵$A$，长度不变，方向选择$\theta$角度，所以 分向量 $c_1 i \rightarrow c_1 A i$ 长度不变, 角度逆时针增加了 $\theta$ 度; 分向量 $c_2 \boldsymbol{j} \rightarrow c_2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{j}$ 长度不变, 同时同向角度增加了 $\theta$ 度。那么, 向量的和 $c_1 \boldsymbol{i}+c_2 \boldsymbol{j} \rightarrow c_1 \boldsymbol{A} \boldsymbol{i}+c_2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{j}$ 长度不变, 角度逆时针增加了 $\theta$ 度, 即 $c \rightarrow A c$ 长度不变, 角度逆时针增加了 $\theta$ 度, 如下图所示。

![图片](/uploads/2025-03/fa4cb3.jpg){width=600px}

> 因此，$\boldsymbol{A B = C}$ 的一般几何意义, 就是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 把矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的数个列向量构成的几何图形进行**旋转、缩放、镜像**等变换, 得到数个新向量, 这些新向量作为列向量组成一个新的矩阵 $\boldsymbol{C}$, 这个新矩阵 $\boldsymbol{C}$ 会构成新的几何图形。

## 计算机图形学
计算机图形是在计算机屏幕上显示或活动的图像．计算机图形学的应用广泛，发展迅速．例如，计算机辅助设计（CAD）是许多工程技术的组成部分之一，在最简单的二维图形符号中，字母用于在屏幕上做标记．某些字母作为线框对象存储，其他有弯曲部分的字母还要将曲线的数学公式也存储进去．

`例` 图2-15中的大写字母 N 由 8 个点组成，计算机里存储这8个点的坐标到矩阵$D$中．(只要存储这8个点，在计算机渲染时，把对应点自动连接起来，就显示出了字母$N$)

![图片](/uploads/2025-03/e71311.jpg){width=300px}
 
 
  ![图片](/uploads/2025-03/2a423f.jpg){width=550px}
  
当描述这些对象的顶点被变换以后，他的图像也就跟着变换。

`例` 给定 $A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0.25 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 描述剪切变换 $x \mapsto A x$ 对上例 中字母 N 的作用．

解 由矩阵乘法的定义，乘积 $A D$ 的各列给出字母 N 各顶点的像．

![图片](/uploads/2025-03/d09d3c.jpg){width=550px}

变换过的顶点画在图 2－16，同时还画上相应于原来图形中连线的线段．
图 2－16 中斜体的 N 看来有些太宽，为此，我们可以用倍乘变换使它变窄．

![图片](/uploads/2025-03/e36e1d.jpg){width=300px}
 
 
 `例` 先作如上例的剪切变换，然后再把 $x$ 坐标乘以一个因子 0.75 ，求此复合变换的矩阵．
解 把每个点的 $x$ 坐标乘以 0.75 的矩阵为

$$
S=\left[\begin{array}{ll}
0.75 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

所以复合变换的矩阵是

$$
S A=\left[\begin{array}{ll}
0.75 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}
1 & 0.25 \\
0 & 1
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
0.75 & 0.1875 \\
0 & 1
\end{array}\right]
$$

复合变换的结果如图 2－17 所示．

![图片](/uploads/2025-03/067b1a.jpg){width=300px}
 
### 总结
通过上面的例子，我们有2个小小结论：
①微观上看，$1-8$个点可以看成八向量，乘以矩阵，相当于矩阵让这8个向量进行变形(旋转，缩放)。
②宏观上看，$1-8$个点可以看成组成了一个图形，乘以矩阵，相当于矩阵让图形进行了变换(选择，缩放)

## 延伸阅读
### 反射变换
反射变换（Reflection）指的是图片对着 x 轴或者 y 轴做对称变换。对于图片上的点 $(x, y)$ 在经过 x 轴的对称反射变换后，数学形式可以表示为：

$$
\begin{gathered}
x^{\prime}=-x \\
y^{\prime}=y
\end{gathered}
$$

表示成矩阵形式为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

同理可以得到 y 轴对称反射变换后的变换矩阵为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$
沿原点反射变换的变换矩阵为：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

### 切变变换

切变变换（Shear），指的是在物理学上指的是两个距离很近，大小相等，方向相反的平行力作用于同一物体上所引起的形变。使用示意图可以更直观的去表示什么是切变。如图2．2所示，是图片在 x 轴方向上发生了切变。从图中我们可以看出所有点在 y 轴上的坐标不变，在 x 轴上的坐标满足：$y=0$ 上的点， x 轴坐标不发生变化；$y=1$ 上的点水平方向上移动了 $a$ 个长度。因此对于任意一个点来说，水平方向上移动长度为 $a y$ 。

![图片](/uploads/2025-03/a91883.jpg){width=500px}
 
 切变的矩阵变换可以写作：

$$
\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
1 & a \\
0 & 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
$$

### 线性变换

对于任何一种变换如果可以写作：

$$
\begin{aligned}
& x^{\prime}=a x+b y \\
& y^{\prime}=c x+d y
\end{aligned}
$$

矩阵形式可以表示为：

$$
\begin{array}{r}
{\left[\begin{array}{l}
x^{\prime} \\
y^{\prime}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}
a & b \\
c & d
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]} \\
x^{\prime}=M x
\end{array}
$$

那么我们认为这种变换是线性变换（Linear transformation）。

## 齐次坐标
### 平移变换

平移变换（Translation）相比于以上的线性变换有特殊的地方。平移变换的数学形式为：

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