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雅可比矩阵

## 雅可比矩阵及其行列式的几何意义

因为雅可比矩阵如此重要且有趣, 雅可比矩阵是线性代数和微积分的纽带, 是把非线性问题转换为线性问题的有力工具之一。

### 雅可比矩阵及其行列式的几何意义
有一个函数方程组由 $n$ 个函数组成, 每个函数有 $n$ 个自变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ :

$$
\left\{\begin{array}{c}
y_1=f_1\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\
y_2=f_2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \\
\quad \vdots \\
y_n=f_n\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)
\end{array}\right.
$$

这个函数组有两个意义可以解释: 一个解释它是一个映射, 点 $\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)$ 被映射成 $\left(y_1, y_2, \cdots, y_n\right)$; 另外的一个解释就是坐标变换的意思, 如果你把这个函数组代到一个以 $y_1, y_2, \cdots, y_n$ 为自变量的某方程中, 即相当于把某方程的原坐标系 $\left\{o, y_1, y_2, \cdots, y_n\right\}$ 被替换成 $\left\{o, x_1, x_2, \cdots, x_n\right\}$ 坐标系。这两个解释的本质是一回事, 是同一件事情从不同角度的看法。坐标系不动, 一个点被变换到另一个点, 这等价于说点不动, 一个坐标系被代换到另一个坐标系。
下面从其坐标变换的解释角度来分析。

> **这里有2个结论：空间两个平面相交是直线，空间两个曲面相交是曲线。**

比如一个椭球体和一个柱体相交，交痕就是一条曲线。
 ![图片](/uploads/2025-09/f8cf98.jpg){WIDTH=300PX}

一般情况下, 这个函数方程组不是线性方程组, 它的图形多是高维曲线、曲面类的。稍详细一点说, 每一个函数是个超维曲面, $n$ 个超维曲面组合在一起交割成超维曲线。不过猛地看起来蛮像线性方程组的样子, 心里于是就有了把它弄成线性方程组的冲动: 弄成线性的可以使用矩阵、行列式啊什么的, 可以和线性变换联系起来, 多有几何意义啊。

咋弄成线性的? 直接改写成矩阵形式吗, 恐怕不行。嘿, 不是有微积分嘛, 微分就是把曲的弄成直的, 积分就是把直的弄成曲的。好, 对多元的非线性可微方程组进行偏微分:

$$
\left\{\begin{aligned}
\mathrm{d} y_1 & =\frac{\partial f_1}{\partial x_1} \mathrm{~d} x_1+\frac{\partial f_1}{\partial x_2} \mathrm{~d} x_2+\cdots+\frac{\partial f_1}{\partial x_n} \mathrm{~d} x_n \\
\mathrm{~d} y_2 & =\frac{\partial f_2}{\partial x_1} \mathrm{~d} x_1+\frac{\partial f_2}{\partial x_2} \mathrm{~d} x_2+\cdots+\frac{\partial f_2}{\partial x_n} \mathrm{~d} x_n \\
& \vdots \\
\mathrm{d} y_n & =\frac{\partial f_n}{\partial x_1} \mathrm{~d} x_1+\frac{\partial f_n}{\partial x_2} \mathrm{~d} x_2+\cdots+\frac{\partial f_n}{\partial x_n} \mathrm{~d} x_n
\end{aligned}\right.
$$

到了这一步是不是和线性方程组有点相似了?! 这个过程就是激动人心之化曲为直的过程。几何意义上化每个超曲面为超平面 (函数 $\mathrm{d} y_i=\frac{\partial f_i}{\partial x_1} \mathrm{~d} x_1+\frac{\partial f_i}{\partial x_2} \mathrm{~d} x_2+\cdots+\frac{\partial f_i}{\partial x_n} \mathrm{~d} x_n$ 是超维切平面方程,因此实际上就是化为超维切平面), $n$ 个超平面组合在一起就是超维切线方程, 因此就这样化曲线为直线了。代数意义上就把高次函数方程组化成了齐次线性方程组。好, 那就把它写成矩阵的形式吧:

$$
\left(\begin{array}{c}
\mathrm{d} y_1 \\
\mathrm{~d} y_2 \\
\vdots \\
\mathrm{d} y_n
\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cccc}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \frac

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