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矩阵的初等变换

## 高斯消元法
矩阵的初等变换来源于解方程组，核心包含3条规则：

> **（1）对换变换——交换矩阵的两行。
（2）数乘变换——将某行全体元素都乘以某一非零常数。
（3）倍加变换一一把另一行的常数k倍加到某行上．**

矩阵的初等变换来自解方程组，下面通过对边解方程进行理解。

`例` 求方程组的解
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1-2 x_2+x_3=0 \\
2 x_2+x_3=7 \\
2 x_1+x_2-x_3=1
\end{array}\right.
$$

解：
**STEP1** 下面分别采用**方程组记号**与**矩阵记号**来描述消元过程，并将结果呈现，可以从对照中看到运用矩阵的方便性，写出系数对应的增广矩阵。

$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1-2 x_2+x_3=0 \\
2 x_2+x_3=7 \\
2 x_1+x_2-x_3=1
\end{array} \quad\left[\begin{array}{cccc}
1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 7 \\
2 & 1 & -1 & 1
\end{array}\right]\right.
$$

**STEP2** 保留第一个方程中的 $x_1$ ，并且消去其余方程中的 $x_1$ ．注意并不是真正地消去变量 $x_1$ ，实质上是把 $x_1$ 的系数化为 0 。把第一个方程的 -2 倍加到第三个方程上，将计算结果代替原第三个方程。

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1-2 x_2+x_3 & =0 \\
2 x_2+x_3 & =7 \\
5 x_2-3 x_3 & =1
\end{aligned} \quad\left[\begin{array}{cccc}
1 & -2 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 7 \\
0 & 5 & -3 & 1
\end{array}\right]\right.
$$

**STEP3** 将上述第二个方程的 1 倍加到第一个方程上，第二个方程的 $-\frac{5}{2}$ 倍加到第三个方程上，得

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+2 x_3 & =7 \\
2 x_2+x_3 & =7 \\
-\frac{11}{2} x_3 & =-\frac{33}{2}
\end{aligned} \quad\left[\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 2 & 7 \\
0 & 2 & 1 & 7 \\
0 & 0 & -\frac{11}{2} & -\frac{33}{2}
\end{array}\right]\right.
$$

**STEP4** 将上述第三个方程乘以 $-\frac{2}{11}$ ，把 $x_3$ 的系数化为 1 ，得

$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+\quad 2 x_3=7 \\
2 x_2+x_3=7 \\
x_3=3
\end{array} \quad\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 2 & 7 \\
0 & 2 & 1 & 7 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right]\right.
$$

**STEP5** 将上述第三个方程的 -1 倍加到第二个方程上，消去第二个方程中的变量 $x_3$ ．将第三个方程的 -2 倍加到第一个方程上，消去第一个方程中的变量 $x_3$ 。

$$
\left\{\begin{array}{rr}
x_1 \quad & =1 \\
2 x_2 & =4 \\
x_3 & =3
\end{array} \quad\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 & 4 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right]\right.
$$

**STEP6** 将上述第二个方程乘以 $\frac{1}{2}$ ，把 $x_2$ 的系数化为 1 ．得方程组的解：

$$
\left\{\begin{array}{rr}
x_1 & =1 \\
x_2 & =2 \\
x_3 & =3
\end{array} \quad\left[\begin{array}{llll}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 2 \\
0 & 0 & 1 & 3
\end{array}\right]\right.
$$

## 矩阵的初等变换
对矩阵的行（列）进行下列三种变换，这三种变换被称作矩阵的**初等变换**（elementary operations）：
（1）对换变换——交换矩阵的两行（列）。
（2）数乘变换——将某行（列）全体元素都乘以某一非零常数。
（3）倍加变换——把某行（列）用该行（列）与另一行（列）的常数倍的和替换，也就是把另一行（列）的常数倍加到某行（列）上。

对 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 分别进行一次上述三种初等变换之一后，所得的矩阵称为初等矩阵．相应的三种初等矩阵分别是：
（1）互换 $\boldsymbol{E}$ 的 $i, j$ 两行（两列）所得的初等矩阵——第一类初等矩阵。

![图片](/uploads/2025-09/95c1dd.jpg){width=400px}
 
 
（2）用 $\lambda(\lambda \neq 0)$ 乘 $\boldsymbol{E}$ 的第 $i$ 行（列）所得的初等矩阵——第二类初等矩阵。

![图片](/uploads/2025-09/60255a.jpg){width=400px}

（3）将 $\boldsymbol{E}$ 的 $j$ 行（ $i$ 列）的 $\gamma$ 倍加到 $i$ 行（ $j$ 列）上去 $(i \neq j)$ 所得的初等矩阵——第三类初等矩阵。
 ![图片](/uploads/2025-09/beb880.jpg){width=400px}

> **定理1  设 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，对 $\boldsymbol{A}$ 进行一次初等行变换相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的左边乘一个相应类型的 $m$ 阶初等矩阵；对 $\boldsymbol{A}$ 进行一次初等列变换相当于在 $\boldsymbol{A}$ 的右边乘一个相应类型的 $n$ 阶初等矩阵**．

## 矩阵的等价

**定义** 如果一个矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经过有限次初等变换后变成 $\boldsymbol{B}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$是**等价**的，或 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相抵，记为 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ ．
 
用初等变换可以将一个矩阵化简到什么程度？下面的定理回答了这个问题．
定理  任一 $m \times n$ 矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{m \times n}$ 必等价于下列 $m \times n$ 矩阵：

$$
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cccccc}
1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\
\vdots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0
\end{array}\right),
$$

其中 $\boldsymbol{B}$ 的前 $r$ 行及前 $r$ 列交点处有 $r$ 个 1 ，其余元素皆为零。换言之，任一 $m \times n$矩阵均与一个主对角线上元素等于 1 或 0 而其余元素均为 0 的 $m \times n$ 矩阵等价．

证明 若 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ ，则结论显然成立．现设 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{O}$ ，即 $\boldsymbol{A}$ 至少有一个元素 $a_{i j} \neq 0$ ．如果 $a_{i j}$ 不在第 $(1,1)$ 位置，那么可将它所在的行与第一行对换，再将它所在的列与第一列对换就可将 $a_{i j}$ 调至第 $(1,1)$ 位置．因此

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