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第二篇 矩阵
矩阵等价
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2024-10-24 07:58
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矩阵等价
## 矩阵的等价 矩阵的等价来源于“同解方程组”,请看下面两个方程 $$ \begin{cases} x+y=4 \\ 2x-y=-1 \end{cases} ...(1) $$ 和 $$ \begin{cases} x+2y=7 \\ x-y=-2 \end{cases} ...(2) $$ 虽然这是两个完全不同的方程,但是他们的**解是一样都是**,即他们的解都是 $$ \begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases} ...(3) $$ 如果把上面(1)(2)(3)用矩阵乘法写出来[参见](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234),令 $$ \boldsymbol{ A}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2&-1 \end{array}\right) , \boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 3 \end{array}\right) , \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc} 4 \\ -1 \end{array}\right) $$ 则第一个方程矩阵乘法就是 $$ \boxed{AX=B ...(4)} $$ ,令 $$ \boldsymbol{ Q}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1&-1 \end{array}\right) , \boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc} 1 \\ 3 \end{array}\right) , \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc} 7 \\ -2 \end{array}\right) $$ 则第二个方程矩阵乘法就是 $$ \boxed{QX=P ...(5)} $$ > 还记得初中学过的代数式吗?假如 $ax=b$ 和 $qx=p$,解第一个式子中的$x=\frac{b}{a}=a^{-1}b$,然后带入第二个式子$qa^{-1}b=p$即$p=qa^{-1}b$, 如果$a \ne 0$,再令$a^{-1}=t$,就得到 $p=qtb$,即我们可以说 $p \sim t$ 同样的根据(4)(5),因为这2个方程的解相同,我们有理由相信,(4)中的$X$可以带入(5),带入后应该是 $QA^{-1}B=P$ 如果$A$可逆,可以把$A^{-1}$命名为$T$,带入上式就是 $QTB=P$ 我们知道,这里的$T$就是一个矩阵的名字,上式等号左右调换一下即 $$ P=QTB $$ 我们给他一个名字:称矩阵$P$和矩阵$T$是等价的。 这里我们可以从向量的角度捋一捋矩阵的等价。 从(3)可以看出, 在$A$基坐标系里看向量$X$,他的坐标值是 $$ \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc} 4 \\ -1 \end{array}\right) $$ 而到了$B$坐标系里看向量$X$,他的坐标值是 $$ \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc} 7 \\ -2 \end{array}\right) $$ **向量还是是同一个向量$X$,如果坐标系变了(由A坐标系变为Q坐标系),其坐标值也会变(由B坐标值变为P坐标值)。** 因此,两个矩阵等价,最基本的意思就是:更改观看的视角。 比如,要给一头猪拍照,可以正面拍,侧面怕,上面拍、下面拍,选择的视角不同,拍出的照片也会不同,但是不论怎么拍,最根本的物体没有变,猪还是那头猪,不能从正面拍是一头猪,侧面拍就变成一头牛了。如果更抽象一些,若$A$和$B$矩阵等价,但是$A$比较复杂而$B$比较简单,那么我们通过研究$B$的性质,就可以推导出$A$的性质,这是矩阵等价的作用,比如他们有相同的特征值与特征向量,有相同的矩阵的秩等。 在本站附录里介绍了[矩阵的等价、合同和相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772) 得意义 ## 矩阵的等价的定义 若有$A$和$B$两个矩阵,存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $B=P A Q$ 则称$A$和$B$等价。 ### 矩阵等价的性质 等价矩阵的性质包括: 1.反身性:矩阵A与自身等价,即A = A。 2.对称性:若矩阵A与B等价,则B与A也等价。 3.传递性:若矩阵A与B等价,且B与C等价,则A与C等价。 4.行列式相等:若矩阵A与B等价,则它们的行列式相等,即det(A) = det(B)。 5.相同秩:等价矩阵具有相同的秩,即rank(A) = rank(B)。 6.相同特征值:等价矩阵具有相同的特征值。 7.相同特征向量:等价矩阵具有相同的特征向量。 8.可逆性:若矩阵A是可逆的,则与其等价的所有矩阵也是可逆的。 9.初等变换:矩阵可以通过一系列基本行或列操作彼此变换,从而保持它们的等价性。 10.标准型:每个矩阵可以通过初等变换转换为一个唯一的标准形式(阶梯形、三角形或对角线矩阵)。 11.矩阵等价的定义:如果存在可逆矩阵P和Q,使得B=PAQ,则A与B等价,其中P和Q分别是n×n和m×m阶的可逆矩阵。 正如上面方程的解C最终化为对角矩阵一样,如果进行使用矩阵的初等变换,则解可以变成E单位阵 $$ \boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) . $$ ## 初等矩阵 对 $n$ 阶单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 实施一次初等变换得到的矩阵称为 $n$ 阶初等矩阵. 根据上面性质9,矩阵可以通过一系列基本行或列操作彼此变换,从而保持它们的等价性。 `例` 设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是一个三阶方阵,试求一个 3 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ,使得 $$ \boldsymbol{P A}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{31}+k a_{11} & a_{32}+k a_{12} & a_{33}+k a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{array}\right) . $$ 解:矩阵 $P A$ 可看成是先对矩阵 $A=\left(a_v\right)$ 实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换, 再实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 2 行的变换所得到的. 这相当于先后用初等矩阵 $E(2,3)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right) 、 E((k), 2)=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 左乘矩阵 $\boldsymbol{A}$ ,即 $P A=E(1(k), 2) E(2,3) A ,$ 所以 $$ P=E(1(k), 2) E(2,3)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ k & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) . $$ 另外,矩阵 $P A$ 也可看成是先对矩阵 $A=\left(a_j\right)$ 实施一次矩阵 $A$ 的第1行乘以数 $k$ 加到第 3 行的变换,再实施一次交换矩阵 $A$ 的第 2 行和第 3 行的变换所得到的. 即 $\boldsymbol{P A}=\boldsymbol{E}(2,3) \boldsymbol{E}(1(k), 3) \boldsymbol{A}$
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