最后更新: 2024-10-24 07:58 查看: 507 次反馈同步训练

矩阵等价

## 矩阵的等价
矩阵的等价来源于“同解方程组”，请看下面两个方程
$$
\begin{cases}
x+y=4 \\
2x-y=-1
\end{cases} ...(1)
$$

和

$$
\begin{cases}
x+2y=7 \\
x-y=-2
\end{cases} ...(2)
$$

虽然这是两个完全不同的方程，但是他们的**解是一样都是**，即他们的解都是

$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=3
\end{cases} ...(3)
$$

如果把上面(1)(2)(3)用矩阵乘法写出来[参见](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234)，令

$$
\boldsymbol{ A}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2&-1  
\end{array}\right) ,

\boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
3  
\end{array}\right)

\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}
4 \\
-1  
\end{array}\right)  
$$

则第一个方程矩阵乘法就是
$$
\boxed{AX=B ...(4)}
$$
,令
$$
\boldsymbol{ Q}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1&-1  
\end{array}\right) ,

\boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
3  
\end{array}\right)

\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc}
7 \\
-2  
\end{array}\right)

则第二个方程矩阵乘法就是
$$
\boxed{QX=P ...(5)}
$$

> 还记得初中学过的代数式吗？假如 $ax=b$ 和 $qx=p$，解第一个式子中的$x=\frac{b}{a}=a^{-1}b$,然后带入第二个式子$qa^{-1}b=p$即$p=qa^{-1}b$, 如果$a \ne 0$,再令$a^{-1}=t$,就得到 $p=qtb$，即我们可以说 $p \sim t$

同样的根据(4)(5),因为这2个方程的解相同，我们有理由相信，(4)中的$X$可以带入(5)，带入后应该是

$QA^{-1}B=P$

如果$A$可逆，可以把$A^{-1}$命名为$T$,带入上式就是
$QTB=P$

我们知道，这里的$T$就是一个矩阵的名字，上式等号左右调换一下即
$$
P=QTB
$$
我们给他一个名字：称矩阵$P$和矩阵$T$是等价的。

这里我们可以从向量的角度捋一捋矩阵的等价。
从(3)可以看出，
在$A$基坐标系里看向量$X$，他的坐标值是
$$
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}
4 \\
-1  
\end{array}\right)
$$
而到了$B$坐标系里看向量$X$，他的坐标值是
$$
\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc}
7 \\
-2  
\end{array}\right) 
$$

**向量还是是同一个向量$X$，如果坐标系变了(由A坐标系变为Q坐标系)，其坐标值也会变（由B坐标值变为P坐标值）。**

因此，两个矩阵等价，最基本的意思就是：更改观看的视角。
比如，要给一头猪拍照，可以正面拍，侧面怕，上面拍、下面拍，选择的视角不同，拍出的照片也会不同，但是不论怎么拍，最根本的物体没有变，猪还是那头猪，不能从正面拍是一头猪，侧面拍就变成一头牛了。如果更抽象一些，若$A$和$B$矩阵等价，但是$A$比较复杂而$B$比较简单，那么我们通过研究$B$的性质，就可以推导出$A$的性质，这是矩阵等价的作用，比如他们有相同的特征值与特征向量，有相同的矩阵的秩等。

在本站附录里介绍了[矩阵的等价、合同和相似](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=772) 得意义

## 矩阵的等价的定义
若有$A$和$B$两个矩阵，存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $B=P A Q$ 则称$A$和$B$等价。

### 矩阵等价的性质

等价矩阵的性质包括：
1.反身性：矩阵A与自身等价，即A = A。
2.对称性：若矩阵A与B等价，则B与A也等价。
3.传递性：若矩阵A与B等价，且B与C等价，

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