最后更新: 2025-03-23 21:40 查看: 5 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

拉格朗日乘子法，为什么可以求极值？

## 引言-直线束
作者：微信公众号[数学之水](#) , 知乎[德基先生](#)

**定理** 一条直线通过两条相交直线 $a_1 x+b_1 y+c_1=0, a_2 x+b_2 y+c_2=0$ 的交点的充要条件是存在两个不全为零的常数 $\lambda_1 、 \lambda_2$ 使这条直线方程为
$$
\lambda_1\left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)+\lambda_2\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0 ...(5.26)
$$
关于他的证明可以参考 [直线束](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1341)

如果我们假设$\lambda_1 \ne 0$, (5.26) 两侧同除以$\lambda_1$，并零 
$\lambda=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$, 则通过定点的直线束，的直线方程可以定义为

$$
 \left(a_1 x+b_1 y+c_1\right)+\lambda\left(a_2 x+b_2 y+c_2\right)=0 ...(5.27)
$$

![图片](/uploads/2025-03/5e492d.jpg){width=300px}
 
 如果令$f_1=a_1 x+b_1 y+c_1$ 而 $a_2 x+b_2 y+c_2=0$
 要求$f_1$的极值，我们可以构造一个函数
 $$
 f=f_1+\lambda f_2
 $$
 
 上面是平面的情况，现在对上面的思维进行扩展到多维空间。
 
 ## 拉格朗日乘法子
 
 从北京到上海，如果没有约束条件。那么肯定是选择两点直线最短，能坐飞机坐飞机。但如果要求控制预算则需要在约束条件前提下进行选择，此时就会变的复杂，同样一个函数在约束线求极值也是相对复杂，幸运的是拉格朗日乘法子让限制函数求极值变的简单。具体方法如下
 
首先，给出一个拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+  \lambda g(x, y)$ ，求出拉格朗日函数的极值，就可以得到 $f(x, y)$ 的极值。

具体步骤
- 定义目标函数 $f(x, y)$ 和约束条件 $g(x, y)=0$ 。
- 构造拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)=f(x, y)+  \lambda g(x, y)$。
- 求出拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)$ 的梯度向量：$\partial L / \partial x, \partial L / \partial y, \partial L / \partial \lambda$ ）。
- 令其等于零：$\partial L / \partial x=0, \partial L / \partial y=0, \partial L / \partial \lambda=0$ 。
- 解出上述方程组，得到满足约束条件的极值点。
 
 
 
## 拉格朗日乘子法，为什么可以求极值

读者可能不禁疑问：凭什么引入一个$\lambda$ , 定义一个拉格朗日函数, 求得拉格朗日函数的极值,就可以求得 $f(x, y)$ 的极值了呢? 其背后的原理是什么?

假设空间有一个蓝色曲面 $f(x, y)$(目标函数)，还有一个红色曲面$g(x, y)$（限制函数），他们在空间相交，此时交线则是一条曲线，（参考下图红色界痕）
根据上面引子，我们可以设**过界痕的曲面方程束**为
$L=f+\lambda g(x,y)$
 ![图片](/uploads/2025-03/8311aa.jpg)

### 平面投影
如果从上往下看曲面，如下图，假设我们的目标函数 $f(x, y)$ 与限制函数 $g(x, y)$ 都在区域 $G$ 上有定义。自然，拉格朗日函数是目标函数与限制函数的线性组合，其必也是在区域 $G$ 上有定义的。这里黄红色的曲线代表满足 $g(x, y)=0$ 的点的集合。点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 是拉格朗日函数在区域 $G$ 上的极值点。现在我们来阐明其中的原理，参加下图
 ![图片](/uploads/2024-09/0f887e.jpg)

为什么拉格朗日函数的极值点会落在限制曲线 $g(x, y)=0$ 上呢? 其就不会落在区域 $G$ 别的地方上吗？那是因为，我们在对拉格朗日函数参数 $\lambda$ 求导时， $\partial L / \partial \lambda $ 得到的函数恰好是 $g(x, y)=0$, 正是因为有了这个条件, 求得的极值点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 一定满足 $g\left(x_0, y_0\right)=0$, 所以，它一定会落在曲线 $g(x, y)=0$ 上。

其次, 为什么拉格朗日函数的极值点一定也是 $f(x, y)$ 的极值点呢? 首先, 要注意到, 拉格朗日函数 $L=f+ \lambda g$ 在 $g=0$ 的时候， $L=f$ ，也就是拉格朗日函数与目标函数在曲线 $g(x, y)=0$ 的那条线上是相等的。既如此，拉格朗日函数在 $M\left(x_0, y_0\right)$ 点取到极值，也就是在 $M\left(x_0, y_0\right)$ 的局部邻域内取得极值，曲线的一小段包含在这局部邻域中，也就是说拉格朗日函数在曲线 $g(x, y)=0$ 上取得极值, 而在曲线 $g(x, y)=0$ 上拉格朗日函数与目标函数相等, 那么, 也就是目标函数在曲线 $g(x, y)=0$ 上取得极值。

这, 就是隐藏在拉格朗日乘子法背后的本质。

拉格朗日乘子法这样的巧妙的发明，它的巧妙来源于哪里？该方法巧妙在拉格朗日函数的构造上，它引入参数 $\lambda$ ，并把限制函数包含进去，**把问题升维一次**，然后在升维的基础上求得问题的解，然后**再进行降维**，抛弃参数的值，仅关注 $\left(x_0, y_0\right)$ 的值，这个降维刚刚就降在限制函数所约束的范围内，这一升一降，恰巧就解决了条件极值点的找寻。

## 从梯度角度考虑
首先要有一个维度的概念 比如： $y=x$ 他的图像是平面里的直线，图形是2维的，但是定义域是一维的  再如$z=x+y$ 他是空间的曲面，图像是3维的，但是定义域是二维的 因此， 我们有一个结论：**函数增加一个未知数，就是增加了一个维度**，拉格朗日函数 $L=f(x,y)+ \lambda G(x,y)$ 增加了一个参数，所以，他的图像在四维里，而他的定义域是$x,y,\lambda$ 是三维的，这时，我们就要用梯度的一个等值线结论。所以也可以从梯度的角度考虑，在[梯度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=391) 介绍过等值线，这些等值线投影到水平面上，会形成一个个曲线。可**以证明速度方向的水平投影正是水平面上该点曲线的法向量**。

拉格朗日乘数法的例子几何意义参考下图，可以发现，只有在切点、$f(x,y)$、$g(x,y)$ 方向向量在一条直线上有极值。

![图片](/uploads/2025-03/238295.jpg)

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