最后更新: 2025-11-06 16:21 查看: 105 次纠错评论(0) 课件开VIP

外微分运算性质

## 外微分运算性质

### 1．加法与数乘 
对于 $p$ 次 $(p=1,2,3)$ 外微分如下定义加法与乘以数值函数的运算（以 $p=2$为例）：
$$
\begin{aligned}
& \left(P_1 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_1 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R_1 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y\right)+\left(P_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_2 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y\right) \\
= & \left(P_1+P_2\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(Q_1+Q_2\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x+\left(R_1+R_2\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y,
\end{aligned}
$$

其中 $P_i, Q_i, R_i(i=1,2)$ 都是三元函数．

$$
f(x, y, z)(P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y)=f P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+f Q \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+f R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y,
$$

其中 $P, Q, R$ 都是三元函数．
以上两种运算的结果仍是同次的外微分．

### 2．外积运算
先看最简单的情形：自变量的微分 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$ 作为最基本的一次外微分式，规定 $\mathrm{d} x$ 与 $\mathrm{d} y$ 的外积为 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$（这里 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 整体作为符号，同时 $\wedge$ 又作为运算符）， $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x$ 等也类似理解。

约定外积运算满足性质：
 ① $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} y, \quad \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z, \quad \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=-\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x$ ；
 ② $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} x=0, \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} y=0, \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} z=0$ ；
 ③结合律：如 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z=(\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y) \wedge \mathrm{d} z=\mathrm{d} x \wedge(\mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z)$ ．
注意，以上性质与向量代数中的两向量的外积（或叉积）类似．如 $a \times b=-b \times a$ ．

由以上性质得 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} x \wedge(\mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y)=-(\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} x) \wedge \mathrm{d} y=0$ ，即自变量外微分中，只要出现两个相同微分，则结果为 0 ．

一般情况，如

$$
\begin{aligned}
& \left(P_1 \mathrm{~d} x+Q_1 \mathrm{~d} y\right) \wedge\left(P_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_2 \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x\right) \\
= & P_1 P_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+P_1 Q_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+Q_1 P_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_1 Q_2 \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x \\
= & P_1 P_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+Q_1 Q_2 \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z,
\end{aligned}
$$

上式中用了 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x=0, \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z=0$ ．可见外微分式的外积仍为外微分式．

### 3．外微分式的外微分
如 $f(x, y, z)$ 的外微分为

$$
\mathrm{d} f=f_x \mathrm{~d} x+f_y \mathrm{~d} y+f_z \mathrm{~d} z,
$$

一次外微分 $\omega_1$ 的外微分为

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega_1= & \mathrm{d}(P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z)=\mathrm{d} P \wedge \mathrm{~d} x+\mathrm{d} Q \wedge \mathrm{~d} y+\mathrm{d} R \wedge \mathrm{~d} z \\
= & \left(P_x \mathrm{~d} x+P_y \mathrm{~d} y+P_z \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} x+\left(Q_x \mathrm{~d} x+Q_y \mathrm{~d} y+Q_z \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} y+ \\
& \left(R_x \mathrm{~d} x+R_y \mathrm{~d} y+R_z \mathrm{~d} z\right) \wedge \mathrm{d} z \\
= & P_y \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x+P_z \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x+Q_x \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y+Q_z \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y+R_x \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} z+R_y \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z \\
= & \left(R_y-Q_z\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(P_z-R_x\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x+\left(Q_x-P_y\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y .
\end{aligned}
$$

同理二次外微分 $\omega_2$ 的外微分为
### 外微分式的应用

在第二类曲面积分

$$
\begin{aligned}
& \iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_S P \cos \alpha \mathrm{~d} S+Q \cos \beta \mathrm{~d} S+R \cos \gamma \mathrm{~d} S \\
& \left(\boldsymbol{e}_n=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma) \text { 为 } S \text { 上指定侧的单位法向量 }\right)
\end{aligned}
$$

中赋予外微分式符号意义如下：

$$
\begin{gathered}
\cos \alpha \mathrm{d} S=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z, \alpha \text { 为锐角, } \\
\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} y, \alpha \text { 为钝角, }
\end{array} \quad \cos \beta \mathrm{d} S=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x, \beta \text { 为锐角, } \\
\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z, \beta \text { 为钝角, }
\end{array}\right.\right. \\
\cos \gamma \mathrm{d} S=\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y, \gamma \text { 为锐角, } \\
\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x, \gamma \text { 为钝角. }
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$

以上这些外微分式可以这样形象理解：将 $\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z$ 类比为坐标向量 $\boldsymbol{i}$ ， $\boldsymbol{j}, \boldsymbol{k}$ ，则 $\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 表示按顺序 $\mathrm{d} x, ~ \mathrm{~d} y, ~ \boldsymbol{e}_n$ 服从右手规则， $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x$ 表示按顺序 $\mathrm{d} y, \mathrm{~d} x, \boldsymbol{e}_n$ 服从右手规则，其余情况类推。

按以上约定显然有

$$
\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} y, \quad \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x=-\mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} z, \quad \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=-\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} x .
$$
积分 $\iint_S P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z$ 表示 $S$ 的法向量 $\boldsymbol{n}$ 指向前侧， $\iint_S P \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y$ 表示 $S$ 的法向量指向后侧，即

$$
\iint_S P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z=-\iint_S P \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y ;
$$

同理 $\iint_S R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 表示 $S$ 取上侧， $\iint_S R \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x$ 表示 $S$ 取下侧。
注意：本书前面介绍的对坐标的曲面积分中一般用：

$$
\begin{aligned}
& \iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, S \text { 取前侧表示 } \iint_S P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z ; \\
& \iint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, S \text { 取后侧表示 } \iint_S P \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} y, \\
& \iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S \text { 取上侧表示 } \iint_S Q \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y ;
\end{aligned}
$$
$$
\iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, S \text { 取下侧表示 } \iint_S Q \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} x \text { 等. }
$$

可见 $S$ 取下侧若用 $\iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 表示，则必须说明＂$S$ 取下侧＂，若不作说明， $\iint_S Q \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 的意义应指 $S$ 取上侧（但教材中为清楚起见，这种情况也进行了说明），其余规定类似。

按以上解释，因为在 $\mathbb{R}^2$ 中

$$
\begin{gathered}
\omega_1=P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y \\
\mathrm{~d} \omega_1=\left(P_x \mathrm{~d} x+P_y \mathrm{~d} y\right) \wedge \mathrm{d} x+\left(Q_x \mathrm{~d} x+Q_y \mathrm{~d} y\right) \wedge \mathrm{d} y \\
=Q_x \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y-P_y \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y=\left(Q_x-P_y\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y
\end{gathered}
$$

所以格林公式可表示为
$$
\int_{\partial D} \omega_1=\iint_D \mathrm{~d} \omega_1
$$

同理，由（8．2）式得斯托克斯公式为

$$
\int_{\partial S} \omega_1=\iint_S \mathrm{~d} \omega_1
$$

由（8．3）式得高斯公式为

$$
\iint_{\partial V} \omega_2=\iiint_V \mathrm{~d} \omega_2
$$

三式可统一表示为 $\int_{\partial \Omega} \omega=\int_{\Omega} \mathrm{d} \omega, \partial \Omega$ 表示积分区域 $\Omega$（曲面或立体）的边界．
若将定积分的牛顿－莱布尼茨公式 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ 写为 $\int_{\Omega} \mathrm{d} F(x)= \int_{\partial \Omega} F(x)$ ，其中 $\Omega=[a, b], \partial \Omega=\{a, b\}$ ，则 $\int_{\partial \Omega} \omega=\int_{\Omega} \mathrm{d} \omega$ 也包含了牛顿－莱布尼茨公式．
公式

$$
\int_{\partial \Omega} \omega=\int_{\Omega} \mathrm{d} \omega
$$

称为一般形式的斯托克斯公式．
几个看上去完全不同的公式，在引进外微分形式后，却得到了外形完全一致的结果，这个表达式简洁、和谐、优美，便于记忆。这不是偶然的巧合，而恰好反映了事物的本质。基于这一事实，也可以建立更高维如 $\mathbb{R}^n$ 甚至微分流形中的斯托克斯公式．

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