最后更新: 2025-10-27 05:08 查看: 298 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

什么是梯度？为什么梯度下降最快？

## 梯度的通俗解释

数的梯度方向指向函数值增长最快的方向。但为什么这是正确的呢？在这篇文章中，我们将深入探讨这一概念背后的原因，并了解梯度为何如此特殊。

梯度不仅在数学中扮演着重要角色，也在诸如通过梯度下降法训练机器学习模型、优化工程系统，甚至在经济学中确定最大利润点等实际应用中起着重要作用。梯度的概念对于解决我们需要找到最有效路径或解决方案的现实问题至关重要。如果你对这个概念有疑问或者需要复习一下，希望这篇文章可以帮助到你。

### 引言
当我们处理多个变量的函数（例如  ）时，我们希望了解函数在任意点如何变化。梯度是实现这一目标的强大工具。梯度被定义为包含函数偏导数的向量，并指向函数值增加最快的方向。

简单来说，想象一下你站在一座山上，想要找到爬山最快的方向。梯度向量所指的方向就是那个方向。可能你已经在非常多地方看过这个说法了，接下来我们从几何证明的角度上一步步推这个结论！别慌，这个证明非常的直观，只需要你有一点点的极限基础！

### 梯度的作用

假设有一个数量函数
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定一个点坐标，将对应该点的温度值，例如取
$f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 表示在坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，
$f(0,0,0)=0^2+0^2-0=0$ 表示在坐标为 $(0,0,0)$的位置温度为0度，以此类推。

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}
 **上图显示空间里每一点温度的组成图像（示意图）**
 
但是，我们知道当温度存在温度差时，温度会从高温向低温流动，所以，**我们更关心温度变化的的方向**。

为此，我们对$f(x,y,z)$ 求偏导得到 $f'(x,y,z)=(2x,2z,-1)$ ，写成向量函数就是：

$$
\vec{F}(x, y, z)=<2 x, 2 y, 1>  ...(2)
$$

这样，每给一个点坐标，就有一个向量函数值。例如取$x=1,y=1,z=1$
得$F_{(1,1,1)}=<2,2,-1>$ ， 这样我们就可以求得函数的每一点的温度变化量，利用计算机可以模拟（2）式中向量场的**三维空间向量场**图像如下：
 
 ![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}
**上图中显示空间中每一点温度变化的大小与方向（示意图）**。

### 函数可微

因此，我们先给出第一个核心的概念点：如果一个曲面是可微的，那么对于曲面上一点，可以使用切平面近似替代改点的曲面，详细参考[全微分](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=383) 的定义。

![图片](/uploads/2025-03/cadaa0.jpg){width=600px}

使用切平面有啥好处？最主要是他简单，特别是对于函数值和自变量的关系是线性的，比如对于平面 $z=a x+b y+c$ ，我们往 $x$ 方向走

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【高等数学】梯度

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