最后更新: 2025-03-26 21:20 查看: 81 次反馈同步训练

怎样理解函数的间断点？

## 怎样理解函数的间断点及其分类？

函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 的连续性，主要是讨论极限 $\lim _{x \rightarrow x} f(x)$ 。按现行高等数学教材的定义，只有当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域或某个去心邻域 $U\left(\hat{x}_0, \delta\right)$ 内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是两码事）。如果极限没有意义，说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是连续或是间断，也就没有意义。此外，由于我们定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单側极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。

## 连续性
**定义1** 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域内有定义，给 $x$ 以增量 $\Delta x$ ，相应地得到函数的增量 $\Delta y$ ．若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=0$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，$x_0$ 为 $f(x)$ 的连续点。（证明时常用）

**定义2** 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足以下三个条件：（判断函数是否连续时常用）
（1）$f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域内有定义；
（2） $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在；
（3） $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续．

**定义** 设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内任一点均连续，则称函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续．

**定义** 设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，在点 $x=a$ 处右连续 $\left(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a)\right)$ ，在点 $x=b$ 处左连续 $\left(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\right)$ ，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．

## 间断点
 间断点分类参考下图，完整分类见 [思维导图](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2650) 
 
 ![图片](/uploads/2025-03/3551af.jpg)
 
 
 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：
（1）在 $x=x_0$ 没有定义；
**例如：** $y=\frac{1}{x}$ 在$x=0$时没有定义

（2）虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在；
（3）虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，点 $x_0$ 称为 $f(x)$ 的间断点．

注意：$x \in(-\infty, 0]$ 都不是 $\ln x$ 的间断点（因为找不到某去心邻域内都有定义）。
间断点 $\left(x_0\right)$ 的类型：
第 I 类间断点：$f_{-}\left(x_0\right), f_{+}\left(x_0\right)$ 均存在，
$\left\{\begin{array}{l}(1) f_{-}\left(x_0\right)=f_{+}\left(x_0\right), \text { 即 } \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \text { 存在，则称 } x=x_0 \text { 为 } f(x) \text { 的可去间断点；} \\ (2) f_{-}\left(x_0\right) \neq f_{+}\left(x_0\right), \text { 则称 } x=x_0 \text { 为 } f(x) \text { 的跳

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