最后更新: 2025-03-26 21:20 查看: 32 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

怎样理解函数的间断点？

## 怎样理解函数的间断点及其分类？

函数的间断点是以否定连续性来定义的，要讨论函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 的连续性，主要是讨论极限 $\lim _{x \rightarrow x} f(x)$ 。按现行高等数学教材的定义，只有当 $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域或某个去心邻域 $U\left(\hat{x}_0, \delta\right)$ 内有定义时，才可能讨论此极限，这时也说此极限是有意义的（注意：极限是否有意义与极限是否存在是两码事）。如果极限没有意义，说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 是连续或是间断，也就没有意义。此外，由于我们定义了单侧极限，因此，在双侧极限无意义而单側极限有意义时，我们也可说该点是函数的连续点或间断点。

## 连续性
**定义1** 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域内有定义，给 $x$ 以增量 $\Delta x$ ，相应地得到函数的增量 $\Delta y$ ．若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=0$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，$x_0$ 为 $f(x)$ 的连续点。（证明时常用）

**定义2** 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足以下三个条件：（判断函数是否连续时常用）
（1）$f(x)$ 在点 $x_0$ 的邻域内有定义；
（2） $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在；
（3） $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续．

**定义** 设函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内任一点均连续，则称函数 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续．

**定义** 设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，在点 $x=a$ 处右连续 $\left(\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=f(a)\right)$ ，在点 $x=b$ 处左连续 $\left(\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=f(b)\right)$ ，则称 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续．

## 间断点
 间断点分类参考下图，完整分类见 [思维导图](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2650) 
 
 ![图片](/uploads/2025-03/3551af.jpg)
 
 
 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：
（1）在 $x=x_0$ 没有定义；
**例如：** $y=\frac{1}{x}$ 在$x=0$时没有定义

（2）虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在；
（3）虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，点 $x_0$ 称为 $f(x)$ 的间断点．

注意：$x \in(-\infty, 0]$ 都不是 $\ln x$ 的间断点（因为找不到某去心邻域内都有定义）。
间断点 $\left(x_0\right)$ 的类型：
第 I 类间断点：$f_{-}\left(x_0\right), f_{+}\left(x_0\right)$ 均存在，
$\left\{\begin{array}{l}(1) f_{-}\left(x_0\right)=f_{+}\left(x_0\right), \text { 即 } \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \text { 存在，则称 } x=x_0 \text { 为 } f(x) \text { 的可去间断点；} \\ (2) f_{-}\left(x_0\right) \neq f_{+}\left(x_0\right), \text { 则称 } x=x_0 \text { 为 } f(x) \text { 的跳跃间断点．}\end{array}\right.$
第 II 类间断点：$f_{-}\left(x_0\right)$ 与 $f_{+}\left(x_0\right)$ 至少有一个不存在，若 $f_{-}\left(x_0\right)=\infty$ 或 $f_{+}\left(x_0\right)=\infty$ ，则 $x=x_0$称为 $f(x)$ 的无穷间断点．
 
 
 
## 间断点通俗解释

1.可去间断点：只需要再重新补充一下定义，就可以把这个间断点给“去掉”，变成连续的点。可以想象为自行车扎胎了，只需要用一个小补丁给“补一下”就可以了。或者想象一下，不慎骨折了，但没有错位（左极限等于右极限），只要固定好，不需要太麻烦地处理，过一段时间就骨折的部位就会自动接好。

2.跳跃间断点：需要“跳一下”才能够接上。就像骨折后错位（左极限不等于右极限），是需要给矫正之后，接好，才能再固定的。两个电线杆子之间的电线断了，需要把两个头对到一块才能接。

3.无穷间断点：有一侧或者两侧发散到无穷的情况。就是越来越远，绝对没有“接上”的可能。

典型例子 $ f(x)=\tan x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处无定义，又 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan x=\infty ，$ 则 $x=\frac{\pi}{2}$ 为函数的第二 类间断点(见图1-60)，为无穷间断点.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b42bb5d.png)

4.振荡间断点：没有极限，但呈现振荡状态。曾经举这么一个例子，就类似于冬天天冷，浑身上下都哆嗦，拿起水碗想喝水，但手和头，嘴唇都在哆嗦，怎么也没有办法喝的情况。

典型例子是 $ f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271459.png)

`例` 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1- e ^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，则在点 $x=0$ 处 $f(x)( C )$ ．
（A）极限存在但不连续
（B）仅左连续
（C）仅右连续
（D）连续解 显然 $f(0)=0$ 。因

$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{x}\right)=-1+1=0, \quad \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{2+e^{\frac{1}{x}}}{1-e^{\frac{1}{x}}}-\frac{\sin x}{x}\right)=2-1=1
$$

故 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=0=f(0), \lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=1 \neq f(0)$ ，即 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处仅右连续，应选（C ）．

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