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一般形式的斯托克斯公式

## 一般形式的斯托克斯公式
有了外微分形式的概念及其外微分运算，格林公式、高斯公式及斯托克斯公式就可以统一成一个形式。

首先看格林公式：

$$
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

如果我们把 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 看作是区域 $D \subset \boldsymbol{R}^2$ 中的一个一阶外微分形式，而把二重积分中的被积表达式看作一个二阶外微分形式，这时上述公式中右端被积表达式恰好是左端被积部分的外微分．也就是说，格林公式可以写成

$$
\int_L \omega=\iint_D \mathrm{~d} \omega,
$$

其中 $\omega$ 是 $D$ 中的一个一阶微分形式．

其次，我们来看高斯公式

$$
\oint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

如果我们将公式两端的被积表达式都看作是外微分形式的话，那么右方被积表达式是左方被积表达式的外微分（见例3）。于是，高斯公式可以写成下列形式：

$$
\iint_S \omega=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} \omega,
$$

其中 $\omega$ 是一个二阶外微分形式。
类似地，利用外微分运算（见例 2），可以将斯托克斯公式写成

$$
\int_L \omega=\iint_S \mathrm{~d} \omega
$$

其中 $\omega$ 为一阶外微分形式。
在上述这些公式中左端积分的积分限恰好是右端积分的积分限之边界集合。因此，上述三个公式可以统一表述为

$$
\int_{\partial \Sigma} \omega=\int_{\Sigma} \mathrm{d} \omega ..(8.23)
$$

其中 $\partial \Sigma$ 是 $\Sigma$ 的边界，$\omega$ 是一个外微分形式，在 $\Sigma \cup \partial \Sigma$ 上光滑．在上述表述中，我们没有特别限定外微分 $\omega$ 的阶数，也没有用多重积分的记号。但是事实上上述表述中左端积分的重数与 $\omega$ 的阶数相同，而右端积分重数要比左端积分重数多一重．另外，还应指出

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