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一般形式的斯托克斯公式

## 一般形式的斯托克斯公式
有了外微分形式的概念及其外微分运算，格林公式、高斯公式及斯托克斯公式就可以统一成一个形式。

首先看格林公式：

$$
\oint_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$

如果我们把 $P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$ 看作是区域 $D \subset \boldsymbol{R}^2$ 中的一个一阶外微分形式，而把二重积分中的被积表达式看作一个二阶外微分形式，这时上述公式中右端被积表达式恰好是左端被积部分的外微分．也就是说，格林公式可以写成

$$
\int_L \omega=\iint_D \mathrm{~d} \omega,
$$

其中 $\omega$ 是 $D$ 中的一个一阶微分形式．

其次，我们来看高斯公式

$$
\oint_S P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iiint_{\Omega}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$

如果我们将公式两端的被积表达式都看作是外微分形式的话，那么右方被积表达式是左方被积表达式的外微分（见例3）。于是，高斯公式可以写成下列形式：

$$
\iint_S \omega=\iiint_{\Omega} \mathrm{d} \omega,
$$

其中 $\omega$ 是一个二阶外微分形式。
类似地，利用外微分运算（见例 2），可以将斯托克斯公式写成

$$
\int_L \omega=\iint_S \mathrm{~d} \omega
$$

其中 $\omega$ 为一阶外微分形式。
在上述这些公式中左端积分的积分限恰好是右端积分的积分限之边界集合。因此，上述三个公式可以统一表述为

$$
\int_{\partial \Sigma} \omega=\int_{\Sigma} \mathrm{d} \omega ..(8.23)
$$

其中 $\partial \Sigma$ 是 $\Sigma$ 的边界，$\omega$ 是一个外微分形式，在 $\Sigma \cup \partial \Sigma$ 上光滑．在上述表述中，我们没有特别限定外微分 $\omega$ 的阶数，也没有用多重积分的记号。但是事实上上述表述中左端积分的重数与 $\omega$ 的阶数相同，而右端积分重数要比左端积分重数多一重．另外，还应指出在上述公式中，积分是依赖于 $\Sigma$ 及 $\partial \Sigma$的定向的。

公式（8．32）被称为一般形式的斯托克斯公式，它可以推广到高维欧氏空间甚至流形上。

公式（8．32）也包括了牛顿－莱布尼兹公式作为特例，只要我们对零阶微分形式的积分作适当定义即可。事实上，牛顿－莱布尼兹公式告诉我们：

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a),
$$

其中 $F$ 是 $f$ 的原函数，也即 $F^{\prime}(x)=f(x)$ ．它可以改写成

$$
\int_a^b \mathrm{~d} F=F(b)-F(a) .
$$
如果我们将积分区间 $(a, b)$ 记作 $\Sigma$ ，那么 $\Sigma$ 的边界则是 $a$ 与 $b$ 两点构成的集合，也即 $\partial \Sigma=\{a, b\}$ 。上述公式的左端可以看成是一阶外微分形式 $\mathrm{d} F$ 在 $\Sigma$上的积分，而其右端则可看作是零阶外微分形式 $F$ 在 $\partial \Sigma$ 上的积分。

从这个意义上讲，一般形式的斯托克斯公式是牛顿－莱布尼兹公式之推广，是高维空间中的微积分基本定理。

外微分运算的引入不仅在形式上统一了以往的一些公式，而外微分运算本身也具有一定的物理意义。

我们知道一个零阶微分形式 $\omega=F$ 的外微分

$$
\mathrm{d} F=\frac{\partial F}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial F}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial F}{\partial z} \mathrm{~d} z,
$$

而 $F$ 的梯度

$$
\operatorname{grad} F=\left(\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}\right) .
$$

可见 $F$ 的梯度的三个分量恰好是零阶微分形式 $\omega=F$ 的外微分的系数．所以可以说，梯度相当于零阶微分形式的外微分运算。

比较一阶微分形式 $\omega=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 的外微分公式与向量 $(P, Q, R)$ 的旋度公式就会发现， $\mathrm{d} \omega$ 关于 $\mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z, \mathrm{~d} z \wedge \mathrm{~d} x, \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 的三个系数恰好就是向量 $(P, Q, R)$ 的旋度的三个坐标分量．事实上，

$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \omega= & \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \wedge \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \wedge \mathrm{~d} x \\
& +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \\
\operatorname{rot}(P, Q, R) & =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \boldsymbol{k}
\end{aligned}
$$

在这个意义上旋度相当于一阶微分形式的外微分．
二阶微分形式 $\omega=P \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z+\mathrm{Qd} z \wedge \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \wedge \mathrm{~d} y$ 的外微分

$$
\mathrm{d} \omega=\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \wedge \mathrm{~d} y \wedge \mathrm{~d} z
$$

的系数恰好就是 $\omega$ 的三个系数构成的向量 $(P, Q, R)$ 的散度．因此，求散度相当于求二阶微分形式的外微分。

总之，在场论中的梯度、旋度、散度在一定意义下分别相当于零阶、一阶及二阶的微分形式的外微分运算。

根据这样的说明，Poincaré 引理 $\mathrm{dd} \omega=0$ 可以写成

$$
\begin{aligned}
& \operatorname{rot} \operatorname{grad} f=0 \quad \text { (当 } \omega=f \text { 时); } \\
& \operatorname{div} \operatorname{rot} a=0 \quad \text { (当 } \omega=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z \text { 时), }
\end{aligned}
$$

其中 $\boldsymbol{a}=(P, Q, R)$ ．
闭的外微分形式也有其物理意义。比如，设 $\omega=P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z$ 是闭的一阶外微分，定义在区域 $D$ 内，也就是说在 $D$ 内 $\mathrm{d} \omega=0$ 。 如果把 $(P, Q, R)$作为一个向量场 $\boldsymbol{F}$ ，那么 $\mathrm{d} \omega=0$ 相当于 $\operatorname{rot} \boldsymbol{F}=0$ ．在上一段中讨论过闭的外微分与恰当微分的关系，指出任意一个恰当微分都是闭的，并在线单连通域的情况下，一阶闭微分总是恰当的．这些结论翻译成场论的语言：有势场总是无旋场，并在线单通域中，无旋场也是有势场．

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