最后更新: 2025-03-27 08:57 查看: 884 次反馈同步训练

第二重要极限 (1+1/x)^x

## 第二重要极限  (1+1/x)^x

第二重要极限I型 （$x \to \infty$）
$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x =e \quad \quad \text{这个类型相当于} 1^{\infty}
$$
或II型（$x \to 0$）
$$
\lim _{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e
\quad \quad   \text{这个类型相当于} 1^{\infty}
$$

### 证明

现在我们利用单调有界收敛准则来讨论另一个重要极限: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$. 先考虑 $x>0$ ，且 $x=n$ 时的情形.
设 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ，利用二项式定理，则有

$$
\begin{aligned}
& x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+\frac{n}{1 !} \cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots(n-n+1)}{n !} \cdot \frac{1}{n^n} \\
& =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
\end{aligned}
$$

类似地，

$$
\begin{aligned}
& x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right) \\
& \quad+\frac{1}{(n+1) !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{n+1}\right)
\end{aligned}
$$

比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ ，则有 $x_n \leq x_{n+1}$ ，即 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加，又由

$$
x_n=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
$$

得

$$
x_n \leq 1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3
$$

即 $\left\{x_n\right\}$ 有上界，因此由单调有界定理知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 存在，不妨记

$$
\begin{gathered}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e} \\
\mathrm{e}=2.718281828459045 \ldots
\end{gathered}
$$

设 $x$ 为实数，当 $x>0$ 时，则有 $n=[x] \leq x<[x]+1=n+1$ ， 因此

$$
\begin{aligned}
& \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n-1}}=\mathrm{e} \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{n+\frac{n+1}{n}}=\mathrm{e}
\end{aligned}
$$

并注意到 $x \rightarrow+\infty \Leftrightarrow n \rightarrow \infty$ ，则由夹逼准则得 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$.

当 $x<0$ 时，令 $x=-(t+1)$ ，则当 $x \rightarrow-\infty$ 时， $t \rightarrow+\infty$ ，因此

$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x & =\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{t+1}\right)^{-t+1)}=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+1} \\
& =\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{t+1}=\mathrm{e}
\end{aligned}
$$

由 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ 及 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ ，则得
$\lim _{x \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$

**证法2 $\lim\limits_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$**

证明  对 $ {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} $ 用牛顿二项式展开法证明，具体略。

> 注 在求函数极限时，常用到形如 $f(x)^{g(x)}(f(x) \neq 1)$ 的函数 ( 通常称为幂指函数 ) 的极限，我们有下面的计算公式.
性质 如果 $\lim f(x)=A>0, \lim g(x)=B$ ，那么 $\lim [f(x)]^{g(x)}=A^B$.

具体转换技巧请参见[$e^x$技巧](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2672)
$$
\boxed{
\lim [u(x)]^{v(x)}=\lim e^{v(x) \ln u(x)}=e^{\operatorname{im} v(x) \ln u(x)} .
}
$$

## 推论1
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}$

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$
解 利用重要极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 求极限， 要注意函数指数中变量 $x$ 与底数中变 量 $x$ 是相同的，正负号也相同，且自变量 $x \rightarrow \infty$.
本题 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\left(1+\frac{1}{-x}\right)^x$ ，底数中变量为 $-x$ ，指数中变量是 $x$ ，两者相差一个负 号，求解时，可按下述两种方法之一计算.
(I) 做变换: 令 $x=-t$, 当 $x \rightarrow \infty$ 时， $t \rightarrow \infty$, 于是

$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^t}=\frac{1}{e} \text { ； }
$$

(II) 适当变形： $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{(-x \times -1)}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{-x}\right)^{-x}\right]^{-1}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{e}$.
证毕。

## 推论2

`例`求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ 
解： 由于 $\frac{1}{2 x}$ 相对于 $\frac{1}{x}$ 多除了 2。为了使式子怛等，则将整个式子平方. 即使 $\frac{1}{2 x} \times 2$ 。

$\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}\right]^2=\mathrm{e}^2$

第二极限的长相为：
 ![图片](/uploads/2024-11/a10598.jpg){width=200px}
 
 一般的，我们有：
$$
\lim (1+kx)^{\frac{1}{kx}}=\mathrm{e} ,(k > 0 )
$$
这是第二重要极限更为一般的形式，事实上如果令$a=1$，他就是第二重要极限。仿照上例，证明如下：

证明： 要计算极限 $\lim_{x \to \infty} (1+kx)^{\frac{1}{kx}}$，我们可以采用变量替换和已知极限的方法。

首先，令 $t = kx$，则当 $x \to \infty$ 时，由于 $k$ 是一个常数（这里假设 $k > 0$，因为 $k \leq 0$ 时极限的情况会有所不同），$t$ 也趋于 $\infty$。

将 $t = kx$ 代入原极限表达式，得到：

$\lim_{x \to \infty} (1+kx)^{\frac{1}{kx}} = \lim_{t \to \infty} (1+t)^{\frac{1}{t} \cdot \frac{k}{k}} = \lim_{t \to \infty} (1+t)^{\frac{1}{t}}$

接下来，我们利用已知的极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}$（这是自然对数的底数 $\mathrm{e}$ 的一个定义）。虽然这里的变量是 $t$ 而不是 $n$，但极限的形式是相似的，因为当 $t \to \infty$ 时，$\frac{1}{t}$ 趋于 0，与 $\frac{1}{n}$ 当 $n \to \infty$ 时的情况相同。

因此，我们可以认为：

$\lim_{t \to \infty} (1+t)^{\frac{1}{t}} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}$

所以，原极限 $\lim_{x \to \infty} (1+kx)^{\frac{1}{kx}} = \mathrm{e}$。

需要注意的是，这个结论仅在 $k > 0$ 时成立。如果 $k \leq 0$，极限的情况会有所不同。例如，当 $k = 0$ 时，极限为 1；当 $k < 0$ 时，可以仿照例1进行计算。

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}$;
解： $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2$ $=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}\right]^3 \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2=\mathrm{e}^3 \cdot 1^2=\mathrm{e}^3$

`例` $ \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}$;
解： $\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right]^{\frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}$

`例` $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

解：$\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1}}\right]^{\frac{\cos x-1}{x^2}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$

`例` $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}$.
解： $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{5}{3 x-1}\right)^{\frac{3 x-1}{5}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3 x-1}(x+\infty)}=\mathrm{e}^{\frac{5(x+1)}{3 x-1}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3}}\right.$

## 推论3

对于 $1^{\infty}$ 类型，利用指数对数变化，可以得到一个更为普遍的结论： 参见[换底公式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=739)
$$
\lim {u^v}=e^{\lim v(u-1)} \quad(u \rightarrow 1, v \rightarrow \infty)
$$

> 求 幂 指 函 数 $y=[f(x)]^{g(x)}(f(x)>0, f(x) \neq 1)$ 极限的一般方法是利用恒等式： $[f(x)]^{g(x)}= e ^{g(x) \ln f(x)}$ ，将幂指函数转化为指数函数，然后应用指数函数的连续性，再求极限．即
$$
\lim [f(x)]^{g(x)}=\lim e^{g(x) \ln f(x)}=e^{\lim g(x) \ln f(x)} .
$$

（1）当 $\lim f(x)=A>0, A \neq 1$ 时， $\lim f(x)^{g(x)}=A^{\lim g(x)}$ ；
（2）当 $\lim g(x)=B \neq 0$ 时， $\lim f(x)^{g(x)}=[\lim f(x)]^B$ 
．
特别地，对 $1^{\infty}$ 型不定型，有简便方法：若 $\lim f(x)=1, \lim g(x)=\infty$ ，则有

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