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第二重要极限 (1+1/x)^x

## 第二重要极限  (1+1/x)^x

第二重要极限I型 （$x \to \infty$）
$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x =e \quad \quad \text{这个类型相当于} 1^{\infty}
$$
或II型（$x \to 0$）
$$
\lim _{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e
\quad \quad   \text{这个类型相当于} 1^{\infty}
$$

### 证明

现在我们利用单调有界收敛准则来讨论另一个重要极限: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$. 先考虑 $x>0$ ，且 $x=n$ 时的情形.
设 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ，利用二项式定理，则有

$$
\begin{aligned}
& x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+\frac{n}{1 !} \cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots(n-n+1)}{n !} \cdot \frac{1}{n^n} \\
& =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
\end{aligned}
$$

类似地，

$$
\begin{aligned}
& x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right) \\
& \quad+\frac{1}{(n+1) !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{n+1}\right)
\end{aligned}
$$

比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ ，则有 $x_n \leq x_{n+1}$ ，即 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加，又由

$$
x_n=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
$$

得

$$
x_n \leq 1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3
$$

即 $\left\{x_n\right\}$ 有上界，因此由单调有界定理知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 存在，不妨记

$$
\begin{gathered}
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\mathrm{e} \\
\mathrm{e}=2.718281828459045 \ldots
\end{gathered}
$$

设 $x$ 为实数，当 $x>0$ 时，则有 $n=[x] \leq x<[x]+1=n+1$ ， 因此

$$
\begin{aligned}
& \left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n<\left(1+\frac{1}{x}\right)^x<\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n-1} \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\right]^{\frac{n}{n-1}}=\mathrm{e} \\
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^{n+\frac{n+1}{n}}=\mathrm{e}
\end{aligned}
$$

并注意到 $x \rightarrow+\infty \Leftrightarrow n \rightarrow \infty$ ，则由夹逼准则得 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$.

当 $x<0$ 时，令 $x=-(t+1)$ ，则当 $x \rightarrow-\infty$ 时， $t \rightarrow+\infty$ ，因此

$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x & =\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{t+1}\right)^{-t+1)}=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t+1} \\
& =\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{t}\right)^t\right]^{t+1}=\mathrm{e}
\end{aligned}
$$

由 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ 及 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$ ，则得
$\lim _{x \rightarrow \infty }\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=\mathrm{e}$

**证法2 $\lim\limits_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e$**

证明  对 $ {\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^x} $ 用牛顿二项式展开法证明，具体略。

> 注 在求函数极限时，常用到形如 $f(x)^{g(x)}(f(x) \neq 1)$ 的函数 ( 通常称为幂指函数 ) 的极限，我们有下面的计算公式.
性质 如果 $\lim f(x)=A>0, \lim g(x)=B$ ，那么 $\lim [f(x)]^{g(x)}=A^B$.

具体转换技巧请参见[$e^x$技巧](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2672)
$$
\boxed{
\lim [u(x)]^{v(x)}=\lim e^{v(x) \ln u(x)}=e^{\operatorname{im} v(x) \ln u(x)} .
}
$$

## 推论1
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}$

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x$
解 利用重要极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 求极限， 要注意函数指数中变量 $x$ 与底数中变 量 $x$ 是相同的，正负号也相同，且自变量 $x \rightarrow \infty$.
本题 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\left(1+\frac{1}{-x}\right)^x$ ，底数中变量为 $-x$ ，指数中变量是 $x$ ，两者相差一个负 号，求解时，可按下述两种方法之一计算.
(I) 做变换: 令 $x=-t$, 当 $x \rightarrow \infty$ 时， $t \rightarrow \infty$, 于是

$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^t}=\frac{1}{e} \text { ； }
$$

(II) 适当变形： $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{(-x \times -1)}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{-x}\right)^{-x}\right]^{-1}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{e}$.
证毕。

## 推论2

`例`求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ 
解： 由于 $\frac{1}{2 x}$ 相对于 $\frac{1}{x}$ 多除了 2。为了使式子怛等，则将整个式子平方. 即使 $\frac{1}{2 x} \times 2$ 。

$\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}\right]^2=\mathrm{e}^2$

第二极限的长相为：
 ![图片](/uploads/2024-11/a10598.jpg){width=200px}
 
 一般的，我们有：
$$
\lim (1+kx)^{\frac{1}{kx}}=\mathrm{e} ,(k > 0 )
$$
这是第二重要极限更为一般的形式，事实上如果令$a=1$，他就是第二重要极限。仿照上例，证明如下：

证明： 要计算极限 $\lim_{x \to \infty} (1+kx)^{\frac{1}{kx}}$，我们可以采用变量替换和已知极限的方法。

首先，令 $t = kx$，则当 $x \to \infty$ 时，由于 $k$ 是一个常数（这里假设 $k > 0$，因为 $k \leq 0$ 时极限的情况会有所不同），$t$ 也趋于 $\infty$。

将 $t = kx$ 代入原极限表达式，得到：

$\lim_{x \to \infty} (1+kx)^{\frac{1}{kx}} = \lim_{t \to \infty} (1+t)^{\frac{1}{t} \cdot \frac{k}{k}} = \lim_{t \to \infty} (1+t)^{\frac{1}{t}}$

接下来，我们利用已知的极限 $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}$（这是自然对数的底数 $\mathrm{e}$ 的一个定义）。虽然这里的变量是 $t$ 而不是 $n$，但极限的形式是相似的，因为当 $t \to \infty$ 时，$\frac{1}{t}$ 趋于 0，与 $\frac{1}{n}$ 当 $n \to \infty$ 时的情况相同。

因此，我们可以认为：

$\lim_{t \to \infty} (1+t)^{\frac{1}{t}} = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n} = \mathrm{e}$

所以，原极限 $\lim_{x \to \infty} (1+kx)^{\frac{1}{kx}} = \mathrm{e}$。

需要注意的是，这个结论仅在 $k > 0$ 时成立。如果 $k \leq 0$，极限的情况会有所不同。例如，当 $k = 0$ 时，极限为 1；当 $k < 0$ 时，可以仿照例1进行计算。

`例` $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}$;
解： $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^{n+2}=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{n}\right)^n \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2$ $=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{3}{n}\right)^{\frac{n}{3}}\right]^3 \cdot\left(1+\frac{3}{n}\right)^2=\mathrm{e}^3 \cdot 1^2=\mathrm{e}^3$

`例` $ \lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}$;
解： $\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\sin x)^{\frac{1}{\sin x}}\right]^{\frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}^{\frac{\lim }{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}}=\mathrm{e}$

`例` $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}$

解：$\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left[(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1}}\right]^{\frac{\cos x-1}{x^2}}=\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$

`例` $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}$.
解： $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{3 x+4}{3 x-1}\right)^{x+1}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{5}{3 x-1}\right)^{\frac{3 x-1}{5}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3 x-1}(x+\infty)}=\mathrm{e}^{\frac{5(x+1)}{3 x-1}}=\mathrm{e}^{\frac{5}{3}}\right.$

## 推论3

对于 $1^{\infty}$ 类型，利用指数对数变化，可以得到一个更为普遍的结论： 参见[换底公式](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=739)
$$
\lim {u^v}=e^{\lim v(u-1)} \quad(u \rightarrow 1, v \rightarrow \infty)
$$

> 求 幂 指 函 数 $y=[f(x)]^{g(x)}(f(x)>0, f(x) \neq 1)$ 极限的一般方法是利用恒等式： $[f(x)]^{g(x)}= e ^{g(x) \ln f(x)}$ ，将幂指函数转化为指数函数，然后应用指数函数的连续性，再求极限．即
$$
\lim [f(x)]^{g(x)}=\lim e^{g(x) \ln f(x)}=e^{\lim g(x) \ln f(x)} .
$$

（1）当 $\lim f(x)=A>0, A \neq 1$ 时， $\lim f(x)^{g(x)}=A^{\lim g(x)}$ ；
（2）当 $\lim g(x)=B \neq 0$ 时， $\lim f(x)^{g(x)}=[\lim f(x)]^B$ 
．
特别地，对 $1^{\infty}$ 型不定型，有简便方法：若 $\lim f(x)=1, \lim g(x)=\infty$ ，则有

$$
\lim [f(x)]^{g(x)}=\lim [1+(f(x)-1)]^{g(x)}=\lim [1+(f(x)-1)]^{\left.\frac{1}{f(x)-1} \cdot f(x)-1\right) g(x)}=e^{\lim (f(x)-1) g(x)}
$$

> 记住： $1^{\infty}= e ^A$ 中 $A$ 是底数 $f(x)-1$ 与指数幂 $g(x)$ 乘积的极限．

`例`

$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{k n} \\
= & \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^k=e^k .
\end{aligned}
$$

`例`

$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{k n}\right)^n \\
= & \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{k n}\right)^{k n \cdot \frac{1}{k}}=e^{\frac{1}{k}} .
\end{aligned}
$$

## 推论4
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x =e^2
$$

证法1:
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^x & =\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-1+1+1}{x-1}\right)^x \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{2}{x-1}\right)^{\frac{x-1}{2}}\right]^2 \\
& =e^2
\end{aligned}
$$

证法2：利用上一个推荐的结论

原式=
$$
\begin{aligned}
=e^{\lim _{x \rightarrow \infty} x\left(\frac{x+1}{x-1}-1\right)} \\
& =e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{x-1}} \Rightarrow \\
& =e^2
\end{aligned}
$$

`例`
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+7}{x-7}\right)^x \\
= & \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x-7+14}{x-7}\right)^x \\
= & \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{14}{x-7}\right)^x \\
= & \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{14}{x-7}\right)^{\frac{x-7}{14}}{ }^{\frac{14}{x-7} \cdot x} \\
= & e^{\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{14 x}{x-7}}=e^{14} .
\end{aligned}
$$

`例`
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)^n \\
= & \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^n \\
= & \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{n+1}{n^2}\right)^{\frac{n^2}{n+1} \frac{n+1}{n^2} \cdot n} \\
= & e^{\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}}=e .
\end{aligned}
$$

`例`
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{x}} \\
= & \lim _{x \rightarrow 0}(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1} \cdot \frac{\cos x-1}{x}} \\
= & e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{x}}
\end{aligned}
$$

利用二倍角公式
$$
\cos 2 \alpha=\cos ^2 \alpha-\sin ^2 \alpha=2 \cos ^2 \alpha-1=1-2 \sin^2 \alpha
$$

$$
=e^{\lim _{x \rightarrow 0}-2 \sin ^2 \frac{x}{2}}
$$

$$
\begin{aligned}
& =e^{\lim _{x \rightarrow 0}(-2) \sin ^{\frac{x}{2}}:\left(\frac{x}{2}\right)^2\left(\frac{x}{2}\right)^2 \cdot \frac{1}{x}} \\
& =e^{\lim _{x \rightarrow 0}\left(-\frac{x}{2}\right)} \\
& =e^0 \\
& =1 .
\end{aligned}
$$

## 典型错误

求极限 $ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x}$

**错误解法1**：
解：原式= $ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}{e^x} = \frac{\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}}{\lim _{n \rightarrow \infty} e^x} $

$= \lim _{x \rightarrow+\infty}  \frac{e^2}{e^x}=0$

**错误解法2：**
为了求解这个极限，我们可以先对分子进行变形，然后将这个结果代入原极限表达式中：

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\left[\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x}{e^x}$

由于 $\lim_{x \to +\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$，我们可以将分子中的 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 替换为 $e$（在求极限时）：

$= \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{e^x}$

现在，分子和分母都是 $e^x$，所以它们可以相互抵消：

$= \lim_{x \to +\infty} 1=1$

> 错误原因：实际上，假如在这个括号外没有x这个无穷大量的乘方，结果当然正确，因为$（1+1/x)^ x$与$e$之间的差距是一个无穷小量，但如果这个无穷小量的误差经过无穷大量的乘方放大，那它就可能不能再被忽视了，可能变为常数级甚至无穷级的误差。所以，在括号内的分式直接取其极限为1，就会让$(1+1/x)^ x$ 与$e$之间的无穷小误差经过$x$次乘方的放大，进而导致结果错误。

从极限的四则运算法则中，这个操作也是不被允许的，一个式子的极限经过有限次乘法，才可以直接用极限结果来运算，比如讲题中大括号外的x次方换成任意一个有限的数，那结果就是1了。

## 第二重要极限泰勒展开法
在上面最后一个例题了介绍了一个典型错误例题，本文进一步探讨第二重要极限的泰勒展开法。
重要极限在相当多的极限问题中广泛出现. 在一些特殊情形中，尽管在形式上可以归类于重要极限，却不能直接使用相关结论，否则将会导致错误，接下来的一个示例将很好地说明这一点，类似古代说的“失之毫厘谬以千里”。我们先给出一个推论

### 推论

若直接根据泰勤公式的定义, 需要对函数 $f(x)=$ $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 逐阶求导。考虑到要实现这一操作是非常困难的，因此可以考虑将此幂指函数转化为指数函数进行展开, 即对式 $e ^{x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ 进行展开.

注意到常用的麦克劳林展开式: $t \rightarrow 0$ 时有 $\ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+$ $\frac{t^3}{3}-\cdots+(-1)^{n+1} \frac{t^n}{n}+o\left(t^n\right)$ 成立, 若两边同除以 $t$,则有 $\frac{\ln (1+t)}{t}=1-\frac{t}{2}+\frac{t^2}{3}-\cdots+(-1)^{n+1} \frac{t^{n-1}}{n}+$ $o\left(t^{n-1}\right)$, 故 $\frac{1}{x} \rightarrow 0$ 时函数 $f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 可以展开为 : $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e ^{\left[1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 x^2}-\cdots+(-1)^{n+1} \frac{1}{x x^{n-1}}+o\left(\frac{1}{x^{n-1}}\right)\right]}$, 若取二级展开, 令 $s=-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$, 则有 $(1+x)^x= e ^{1+s}= e \left[1+s+\frac{s^2}{2}+o\left(s^2\right)\right]$, 即 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=$ $e \left[1-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 x^2}+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2 x}+\frac{1}{3 x^2}\right)^2+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right]$, 化简后得到:

$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e -\frac{ e }{2 x}+\frac{11 e }{24 x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$.

一般地,该式可以满足大部分情形，更高阶的近似可以根据上述推导过程自行求得.

`例`求 $\lim _{x \rightarrow+0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{ e }\right]^{\frac{1}{x^2}}$.
解： 
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow+0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x^2}}=\lim _{x \rightarrow+0}\left[\frac{e-\frac{e x}{2}+o(x)}{e}\right]^{\frac{1}{x^2}} \\
& =\lim _{x \rightarrow+0}\left(1-\frac{x}{2}\right)^{-\frac{2}{x}\left(\frac{1}{2 x}\right)}=\lim _{x \rightarrow+0} e^{-\frac{1}{2 x}}=0
\end{aligned}
$$

`例`  求 $\lim _{x \rightarrow \infty} e ^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$

解： 尽管没有直接出现 $\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 项，但仍然丁以在对其进行简单处理后考虑应用 $(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 的泰动展开式。
方法1：
$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x+x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)^x} \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x+x \ln \left[e-\frac{e}{2 x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right]}=\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x+x\left[\ln x+\ln \left(1-\frac{1}{2 x}\right)\right]} \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x+x\left[1-\frac{1}{2 x}\right]}=e^{-\frac{1}{2}} .
\end{aligned}
$$

方法2：

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow \infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[e^{-1}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right]^x \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty}\left[1-\frac{1}{2}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right]^x \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty}\left[1-\frac{1}{2}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right]^{-\frac{1}{2 x}+o\left(\frac{1}{x} x\right.} x\left[-\frac{1}{2 x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right] \\
& =\lim _{x \rightarrow \infty} e^{-\frac{1}{2}+o(1)}=e^{-\frac{1}{2}}
\end{aligned}
$$

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