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第二重要极限 (1+1/x)^x★★★★★

## 第二重要极限  (1+1/x)^x

> 第二重要极限比第一重要极限困难多了。第二重要极限有两种形式：一种是$x \to 0$ 时 $1^{\infty}$， 一种是 $x \to \infty $ 时 $1^{\infty}$ ,这两种可以使用简单的变量替换得到，因此都作为公式记忆。

$$
\boxed{
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x =e \quad \quad \text{标准形，记忆方法} 1^{\infty}
}
$$
或
$$
\boxed{
\lim _{x \rightarrow 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e
\quad \quad   \text{扩展型，记忆方法} 1^{\infty}
}
$$
 
### 证明

现在我们利用单调有界收敛准则来讨论另一个重要极限: $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$. 先考虑 $x>0$ ，且 $x=n$ 时的情形.
设 $x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ ，利用二项式定理，则有

$$
\begin{aligned}
& x_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=1+\frac{n}{1 !} \cdot \frac{1}{n}+\frac{n(n-1)}{2 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3 !} \cdot \frac{1}{n^2}+\cdots+\frac{n(n-1) \cdots(n-n+1)}{n !} \cdot \frac{1}{n^n} \\
& =1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
\end{aligned}
$$

类似地，

$$
\begin{aligned}
& x_{n+1}=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right) \\
& \quad+\frac{1}{(n+1) !}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n+1}\right)\left(1-\frac{n}{n+1}\right)
\end{aligned}
$$

比较 $x_n$ 与 $x_{n+1}$ ，则有 $x_n \leq x_{n+1}$ ，即 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加 逐项比较以上两式可以发现$x_{n+1}$还多了最后一项 ，又由

$$
x_n=1+1+\frac{1}{2 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{3 !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)+\cdots+\frac{1}{n !}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{n}\right)
$$

得

$$
x_n \leq 1+1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+\cdots+\frac{1}{n !}<1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3
$$

即 $\left\{x_n\right\}$ 有上界，因此由单调有界定理知 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ 存在，不妨记

$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e 
$$

其中$e \approx  2.71828$ 称作欧拉数。

可以证明$x$取实数并趋于正负无穷，上述结论仍然正确，由此得

$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x =e  ...(1)
$$
### 推论1
利用复合函数极限运算法则，把上面(1)里的$x$ 使用 $\frac{1}{t}$ 替换，就的
$$
\lim _{t \rightarrow 0} (1+t)^{\frac{1}{t}}=e
$$

> **第二极限记忆方法：第二极限通常采用 $1^{\infty}$ 进行记忆，即底数趋近于 $1^+$，而指数趋于无穷大**

### 推论2

`例` 证明 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}$
解 利用第二重要极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ 求极限， 要注意**函数指数中变量 $x$ 与底数中变 量 $x$ 是相同的，正负号也相同**，且自变量 $x \rightarrow \infty$.

换句话说，要始终牢记第二极限的长相为，如果和他长的不像，要“配成”类似的长相：

![图片](/uploads/2024-11/a10598.jpg){width=200px}

本题 $\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\left(1+\frac{1}{-x}\right)^x$ ，底数中变量为 $-x$ ，指数中变量是 $x$ ，两者相差一个负 号，求解时，可按下述两种方法之一计算.
(I) 做变换: 令 $x=-t$, 当 $x \rightarrow \infty$ 时， $t \rightarrow \infty$, 于是

$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{t \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{-t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{t}\right)^t}=\frac{1}{e} \text { ； }
$$

(II) 适当变形，把指数$x$ 拆乘$x= -x \times -1$：

$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{(-x \times -1)}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{-x}\right)^{-x}\right]^{-1}=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{e}$.
证毕。
上面这个结果可以当做公式记忆，即

$$
\boxed{
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}
}
$$

> **意义方法：$0.9^{\infty}$ 进行记忆，即底数趋近于 $1^-$，而指数趋于无穷大,结果是 $\frac{1}{e}$**

## 基础例题

`例`求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{\frac{1}{x}}$ 
解： 由于 $\frac{1}{2 x}$ 相对于 $\frac{1}{x}$ 多除了 2。为了使式子怛等，则将整个式子平方.

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