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高等数学
第一章 函数、连续与极限
单调有界收敛准则
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2024-11-23 08:55
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单调有界收敛准则
## 单调有界收敛准则 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件 $$ x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n \leq x_{n+1} \leq \cdots, $$ 则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调增加的； 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足条件 $$ x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_n \geq x_{n+1} \geq \cdots ， $$ 则称数列 $\left\{x_n\right\}$ 是单调减少的； 单调增加或单调减少的数列简称单调数列. >在讨论数列极限的性质时曾指出，收敛数列必有界， 但有界数列末必收敛， 有界是数列收敛的必要条件，但如果是单调有界数列呢? 这就得到了单调有界 收敛准则. **准则** 单调有界数列必有极限. 如果详细地说, 则有下列性质. (1) 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调增加且有上界， 即存在数 $M$ ，使得 $x_n \leq M \quad(n=1,2,3, \cdots) \quad$ ， 那么 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 必存在(且极限 $\leq M$ ). (2) 如果数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调减少且有下界，即存在数 $m$ ，使得 $x_n \geq m \quad(n=1,2,3, \cdots) \quad$ ， 那么 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 必存在(且极限 $\geq m$ ). 对准则 我们不予证明，仅给出其几何解释. 在数轴上看(见图1-48)，  由于数列 $\left\{x_n\right\}$ 为单调的，故对应数列的点 $x_n$ 只可能向一个方向移动 (单调增 加数列只向右方移动， 单调减少数列只向左方移动)，所以只有两种可能: 点 $x_n$ 或移向无穷远处，或趋于某个确定的值. 但又由于数列有界， 因此数列不能趋于 无穷，这样，只能使数
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