怎样求 e^x类型极限

## 怎样求 $y=[u(x)]^{v(x)}$  类型极限

Q:怎样求幂指函数 $y=[u(x)]^{v(x)}$ 的极限？
A:幂指函数求极限的一般方法是利用恒等式

$$
[u(x)]^{v(x)} \equiv e^{v(x) \ln u(x)}
$$

转换成指数函数，然后应用指数函数的连续性，再求极限。这就是

$$
\boxed{
\lim [u(x)]^{v(x)}=\lim e^{v(x) \ln u(x)}=e^{\operatorname{im} v(x) \ln u(x)} .
}
$$

如果 $\lim u(x)=a>0, \lim v(x)=b$ ，那末

$$
\lim [u(x)]^{v(x)}=e^{b \operatorname{ln} a}=a^b=[\lim u(x)]^{\operatorname{lim} v(x)} .
$$

其它情形，常会出现＂ $1 ^ \infty $＂，＂ $0^{0 }$ ，＂$\infty^{0 }$＂等类型的不定式，通常按一般方法转换成指数函数再求极限．

特别地，对 $1^{\infty}$ 型不定式，有如下的简便方法：
若 $\lim u(x)=1, \lim v(x)=\infty$ ，则有
$\lim [u(x)]^{v(x)}=\lim \left\{[1+(u-1)]^{\frac{1}{u-1}}\right\}^{(u-1) v}=e^{\lim (u-1) v}$.
总之，求幂指函数的极限，有下述方法：
（i）当 $\lim u(x)=A>0$ ，且 $A \neq 1$ 时， $\lim u(x)^{v(x)}=A^{\lim v(x)}$ ；
（ii）当 $\lim u(x)=B \neq 0$ 时， $\lim u(x)^{v(x)}=[\lim u(x)]^B$ ；
（iii）当 $\lim u(x)=1$ 时， $\lim u(x)^{v(x)}= e ^{\lim \{u(x)-1\} v(x)}$ ；
（iv）一般总有 $\lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim v(x) \ln u(x)}$ ．

`例`求 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2}{2 x+1}\right)^{x^2}$ ．
解 因为 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+2}{2 x+1}=\frac{1}{2}$ ，所以（

$$
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+2}{2 x+1}\right)^{x_2}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x^2}=0
$$

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