最后更新: 2025-04-10 06:26 查看: 76 次纠错评论(0) 课件开VIP

哈密顿算子

## 哈密顿算子 $\nabla$
哈密顿算子$\nabla$ 是干什么用的？说起来相当简单：就是一个符号作为简单记忆的。
在英语里，对于复杂的单词通常会利用所写，比如电视“Television”通常所写为“TV”，“Number”缩写为“Num” ，甚至句子也会缩写，例如 As Soon As Possible  缩写为ASAP ，such that缩写为s.t.  因此对于求导能不能缩写呢？能，这就是哈密顿算子。

### 哈密顿算子
形如这样的叫哈密顿算子，记做 $\nabla$，中文叫“那布拉”
$$
\nabla=\left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right\} .
$$
这里的$f$表示一个函数，$x,y,z$表示对$f$分别求[偏导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=380)。

所以，**$f$带入不同的值，会有不同的物理意义**，常见的有2个：

①设 $f=U(x, y, z)$ 为数量场，则梯度 $\operatorname{grad} U=\nabla U$ ．
②设 $f=\vec{F}(x, y, z)$ 为向量场，则散度 $\operatorname{div} \overrightarrow{ F }=\nabla \cdot \overrightarrow{ F }$ ，旋度 $\operatorname{rot} \overrightarrow{ F }=\nabla \times \overrightarrow{ F }$ ．

### 不同的阶数
 如果$f=f(x,y)$ 则
 $$
\nabla=\left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right\} .
$$

如果$f=f(x,y,z)$ 则
$$
\nabla=\left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right\} .
$$

如果$f=f(x,y,z,k)$ 则
$$
\nabla=\left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}, \frac{\partial f}{\partial k}\right\} .
$$

## 矢量微分算子 $\nabla$

$$
\nabla=\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k
$$
称为矢量微分算子，简称矢量算子。在 $\nabla$ 算子的基础上，若函数 $u(x, y, z)$ 和矢量 $E (x, y, z)$ 有连续的一阶偏导数，则可作如下定义。

**（1）梯度**：函数 $u$ 的梯度定义为

$$
\nabla u=\frac{\partial u}{\partial x} i+\frac{\partial u}{\partial y} j+\frac{\partial u}{\partial z} k
$$

**（2）散度**：矢量 $E$ 的散度定义为

$$
\nabla \cdot E =\left(\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k \right) \cdot\left(E_x i +E_y j+E_z k \right)=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}
$$

**（3）旋度**：矢量 $E$ 的旋度定义为

$$
\begin{aligned}
\nabla \times E & =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_y & E_z
\end{array}\right| i -\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_z
\end{array}\right| j +\left|\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\
E_x & E_y
\end{array}\right| k \\
& =\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right) i +\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right) k
\end{aligned}
$$

## 拉普拉斯算子
拉普拉斯算子表示为

$$
\nabla^2=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$

它作用于函数 $u$ 给出

$$
\nabla^2 u \equiv \nabla \cdot(\nabla u)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
$$

而作用于矢量 $E$ 给出

$$
\nabla^2 E =\left(\nabla^2 E_x\right) i +\left(\nabla^2 E_y\right) j +\left(\nabla^2 E_z\right) k
$$

设函数 $u, v$ 和矢量 $E , F$ 都是 $(x, y, z)$ 的函数，如果它们的一阶偏导数是存在的，则存在许多有关 $\nabla$ 和 $\nabla^2$ 的公式，举例如下：
（1）$\nabla(u+v)=\nabla u+\nabla v$ ；
（2）$\nabla \cdot( E + F )=\nabla \cdot E +\nabla \cdot F$ ；
（3）$\nabla \times( E + F )=\nabla \times E +\nabla \times F$ ；
（4）$\nabla \cdot(u E )=(\nabla u) \cdot E +u(\nabla \cdot E )$ ；
（5）$\nabla \times(u E )=(\nabla u) \times E +u(\nabla \times E )$ ；

（6）$\nabla \cdot( E \times F )= F \cdot(\nabla \times E )- E \cdot(\nabla \times F )$ ；
（7）$\nabla \times( E \times F )=( F \cdot \nabla) E - F (\nabla \cdot E )-( E \cdot \nabla) F + E (\nabla \cdot F )$ ；
（8）$\nabla( E \cdot F )=( F \cdot \nabla) E +( E \cdot \nabla) F + F \times(\nabla \times E )+ E \times(\nabla \times F )$ ；
（9）$\nabla \times(\nabla u)=0$ ，即 $u$ 的梯度的旋度是零；
（10）$\nabla \cdot(\nabla \times E )=0$ ，即 $E$ 的旋度的散度是零；
（11）$\nabla \times(\nabla \times E )=\nabla(\nabla \cdot E )-\nabla^2 E$ 。
上述公式（9）～公式（11）还假定 $u$ 和 $E$ 有二阶连续偏导数。这些公式均可以按 $\nabla$ 的定义式（1．2．1）及矢量的点乘与叉乘运算公式予以证明，这里举几个例子。

`例`证明公式

$$
\nabla \cdot(u E )=(\nabla u) \cdot E +u(\nabla \cdot E )
$$

证明
$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot(u E )= & \nabla \cdot\left(u E_x i +u E_y j +u E_z k \right) \\
= & \frac{\partial}{\partial x}\left(u E_x\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(u E_y\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(u E_z\right) \\
= & \frac{\partial u}{\partial x} E_x+\frac{\partial u}{\partial y} E_y+\frac{\partial u}{\partial z} E_z+u\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right) \\
= & \left(\frac{\partial u}{\partial x} i +\frac{\partial u}{\partial y} j +\frac{\partial u}{\partial z} k \right) \cdot\left(E_x i +E_y j +E_z k \right) \\
& +u\left(\frac{\partial}{\partial x} i +\frac{\partial}{\partial y} j +\frac{\partial}{\partial z} k \right) \cdot\left(E_x i +E_y j +E_z k \right) \\
= & (\nabla u) \cdot E +u(\nabla \cdot E )
\end{aligned}
$$

`例` 证明公式

$$
\nabla \cdot(\nabla \times E )=0
$$

证明

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot(\nabla \times E ) & =\nabla \cdot\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z
\end{array}\right| \\
& =\nabla \cdot\left[\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right) i +\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right) j +\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right) k \right] \\
& =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)
\end{aligned}
$$

$$
=\frac{\partial^2 E_z}{\partial x \partial y}-\frac{\partial^2 E_y}{\partial x \partial z}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y \partial z}-\frac{\partial^2 E_z}{\partial y \partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z \partial x}-\frac{\partial^2 E_x}{\partial z \partial y}=0
$$

`例` 证明公式

$$
\nabla \times(\nabla \times E )=\nabla(\nabla \cdot E )-\nabla^2 E
$$

证明

$$
\begin{aligned}
\nabla \times(\nabla \times E ) & =\nabla \times\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z
\end{array}\right| \\
& =\nabla \times\left[\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right) i +\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right) j +\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right) k \right] \\
& =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z} & \frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x} & \frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}
\end{array}\right| \\
& =\left[\begin{array}{cc}
\left.\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)-\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)\right] i
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& +\left[\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)-\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}\right)\right] j \\
& +\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_x}{\partial z}-\frac{\partial E_z}{\partial x}\right)-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_z}{\partial y}-\frac{\partial E_y}{\partial z}\right)\right] k \\
= & \left(-\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}\right) i+\left(-\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}\right) j+\left(-\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}\right) k \\
& +\left(\frac{\partial^2 E_y}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z \partial x}\right) i+\left(\frac{\partial^2 E_z}{\partial y \partial z}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial x \partial y}\right) j+\left(\frac{\partial^2 E_x}{\partial z \partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial z}\right) k \\
= & \left(-\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}\right) i+\left(-\frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2}\right) j \\
& +\left(-\frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}\right) k +\left(\frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z \partial x}\right) i \\
& +\left(\frac{\partial^2 E_x}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y \partial z}\right) j+\left(\frac{\partial^2 E_x}{\partial z \partial x}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y \partial z}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}\right) k
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
= & -\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}\right)\left(E_x i +E_y j+E_z k \right) \\
& +i \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right)+ j \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right) \\
& + k \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}\right) \\
= & -\nabla^2 E +\nabla\left(\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_x}{\partial y}+\frac{\partial E_x}{\partial z}\right)=\nabla(\nabla \cdot E )-\nabla^2 E
\end{aligned}
$$

## 本征函数

关于 $\nabla$ 算子的一个基本问题是它的本征函数，与此有关的是下面的例题。
 
`例`量子力学中的动量算符为 $- i \hbar \nabla$ ，其中 $\hbar=h / 2 \pi, h$ 是普朗克常数。求动量算符的本征函数。

解 动量算符 $- i \hbar \nabla$ 的本征方程为

$$
-i \hbar \nabla \psi_{ p }( r )= p \psi_{ p }( r )
$$

其中， $p$ 是本征值，$\psi_{ p }( r )$ 是属于这个本征值的本征函数。设 $\psi_{ p }( r )$ 可以写成 $\psi_{ p }( r )=$ $\psi_{p_x}(x) \psi_{p_y}(y) \psi_{p_z}(z)$ ，代入方程（1．2．11），分离变量后得到三个分量方程

$$
\begin{aligned}
-i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi_{p_x}(x) & =p_x \psi_{p_x}(x) \\
-i \hbar \frac{\partial}{\partial y} \psi_{p_y}(y) & =p_y \psi_{p_y}(y) \\
-i \hbar \frac{\partial}{\partial z} \psi_{p_z}(z) & =p_z \psi_{p_z}(z)
\end{aligned}
$$

其中， $p =p_x i +p_y j +p_z k$ 。分量方程 $(1.2 .12 a \sim c )$ 的解为

$$
\begin{aligned}
& \psi_{p_x}(x)=c_x \exp \left(\frac{i}{\hbar} p_x x\right) \\
& \psi_{p_v}(y)=c_y \exp \left(\frac{i}{\hbar} p_y y\right) \\
& \psi_{p_z}(z)=c_z \exp \left(\frac{i}{\hbar} p_z z\right)
\end{aligned}
$$

其中，$c_x, c_y$ 和 $c_z$ 是待定常数。于是动量算符 $- i \hbar \nabla$ 的本征函数为

$$
\psi_{ p }( r )=c \exp \left(\frac{i}{\hbar} p \cdot r \right)
$$

其中，$c=c_x c_y c_z$ 是待定的归一化常数。

其他版本
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