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高等数学
第一章 函数、连续与极限
零点定理与介值定理
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2024-10-02 19:52
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零点定理与介值定理
## 最大值和最小值定理 定理 (最大值和最小值定理) 若函数 $f(x)$ 在闭 区间上连续,则该函数在该闭区间上必有界,且 有最大值和最小值. 定理 5 也可叙述为,若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则至少存在一点 $\xi_1 \in[a, b]$ ,使 $f\left(\xi_1\right)=M=\max _{x \in[a, b]} f(x)$; 至少存在一点 $\xi_2 \in[a, b]$ ,使 $f\left(\xi_2\right)=m=\min _{x \in[a b]} f(x)$ (见 图1-63). 从而有 $m \leq f(x) \leq M$ , 则取 $K=\max \{|m|,|M|\}$ ,使 $|f(x)| \leq K , x \in[a, b]$ ,即 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界. ![图片](/uploads/2022-12/image_202212279892207.png) 方程 $f(x)=0$ 的根称为函数 $f(x)$ 的零点. 是不是所有的函数都有零点呢? 如图1-64所示,函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上恒大于零, 所以无零点; 而在图1-65中,虽然 $f(a)>0, f(b)<0 ,[a, b]$ ,但是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上也没有零点. 那么需要什么条件才能使函数必有零点? ![图片](/uploads/2022-12/image_20221227092f9aa.png) ## 零点定理 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $f(a) \cdot f(b)<0$ ,则至少存在 一点 $\xi \in(a, b)$ ,使 $f(\xi)=0$. 从几何上看,如果连续曲线弧 $y=f(x)$ 的两个端点位于 $x$ 轴的不同侧,那么这 段曲线弧与 $x$ 轴至少有一个交点(见图1-66). ![图片](/uploads/2022-12/image_2022122770dacb0.png) ## 介值定理 若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $f(a)=A , f(b)=B$ $(A \neq B)$ ,则对于 $A 、 B$ 之间的任意一个数 $C$ , 在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ , 使 $f(\xi)=C$. 进一步,函数必取得介于最小值 $M$ 和最大值 $m$ 之间的任何值(见 图1-67). ![图片](/uploads/2022-12/image_20221227aac06bf.png) `例` 试证方程 $x 2^x=1$ 至少有一个小于 1 的正根. 证明 设 $f(x)=x 2^x-1 , f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,且 $f(0)=-1<0 , f(1)=2-1=1>0$ ,即 $f(0) f(1)<0$. 由零点定理,知至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ,使 $f(\xi)=0$ 即方程 $x 2^x=1$ 至少有一个小于 1 的正根. `例` 估计方程 $x^3-6 x+2=0$ 的根的位置. 解 令 $f(x)=x^3-6 x+2$ $$ \begin{aligned} & f(-3)=-7<0, f(-2)=6>0, f(-1)=7>0 \quad f(0)=2>0 , f(1)=-3<0 , \\ & f(2)=-2<0, \quad f(3)=11>0 . \end{aligned} $$ 由于三次方程至多有三个实根, 因此方程 $x^3-6 x+2=0$ 在 $(-3,-2) ,(0,1) ,(2,3)$ , 内各有一实根. `例` 如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $f(a)<a , f(b)>b$, 证明在 $(a, b)$ 内至少 有一 $c$ ,使 $f(c)=c$. 证明 令 $g(x)=f(x)-x, g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续,且 $g(a)=f(a)-a<0 , g(b)=f(b)-b>0$ , 由零点定理,知至少存在 $c \in(a, b)$ ,使 $g(c)=0$ ,即 $f(c)=c$.
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