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偏微分方程
第一篇 方程的导出及定解问题的提法
Laplace 方程与Poisson 方程
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更新:
2025-04-30 06:16
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Laplace 方程与Poisson 方程
2．3 Laplace 方程 在前面所研究的温度分布问题中，如果经过相当长的时间以后，物体内各点的温度随时间的推移而发生的变化已不显著，这时我们就说温度分布趋于定常，数学上可近似地用 $u_t=0$ 表示．这样一来方程（2．23）就变成 $$ u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0, $$ 它被称为 Laplace 方程．为了书写简洁，我们通常引入如下符号 $\Delta$ ： $$ \Delta=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\cdots+\frac{\partial^2}{\partial x_n^2}, $$ 它被称为 $n$ 维空间的 Laplace 算子．有时为了区别空间维数，我们也将 $n$ 维空间的 Laplace 算子记为 $\Delta_n$ ．于是方程（2．26）可简写为 $$ \Delta_3 u=0 . $$ 类似地，若物体内的热源与时间 $t$ 无关且温度分布趋于定常，我们可导出如下方程： $$ u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=f(x, y, z),...(2.27) $$ 简记为 $$ \Delta_3 u=f(x, y, z), ...(2.28) $$ 我们称方程（2．27）或 $(2.28)$ 为 **Poisson 方程**． 另一方面，在三维波动方程中，假设外力与时间 $t$ 无关，经过相当长的时间以后，振动处于平衡状态，此时 $u_{t t} \approx 0$ ，则由方程（2．15）亦可导出方程（2．27）．进一步，若没有外力作用，则可导出方程（2．26）．
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