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偏微分方程
第一篇 方程的导出及定解问题的提法
定解问题
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2025-04-30 06:17
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定解问题
3.1 定解问题 正如我们在 $\S 1$ 例 1.1 所看到的，一个偏微分方程和常微分方程一样，通常有很多解．因此我们需要给出某些附加条件来挑出其中的某个解，另一方面，从 $\S 2$ 的讨论可以看出，对于不同的物理现象，可归结为不同形式的偏微分方程，而同一个典型的方程又能代表某些物理过程的共同特点．如在研究空间中的声波和电磁波的传播时都会出现三维波动方程 $$ u_{t t}-a^2 \Delta u=0 $$ 我们知道，方程建立以后，目的就是要求出它的解．但是，仅有方程的解还不足以完全确定一个具体的物理过程，因为对于一个具体的物理过程，除了方程本身之外还必须考虑该物理过程的初始状态以及它所满足的外界条件，这些都是本节开头所提到的＂某些附加条件＂。 例如在弦振动问题的讨论中，如果长度为 $l$ 的弦的两端是固定的，这时位移函数就应该满足条件 $$ u(0, t)=0, \quad u(l, t)=0, \quad t \geqslant 0 $$ 我们称它为边值条件．又如在初始时刻 $(t=0)$ 测得弦上各点的位移与速度分别为 $$ u(x, 0)=\varphi(x), \quad u_t(x, 0)=\psi(x), \quad 0 \leqslant x \leqslant l $$ 我们称它为初值条件。 在以后的讨论过程中，我们把描绘普遍规律的方程称为泛定方程；而称边值条件和初值条件为定解条件。定解条件可以有多种形式，它依不同的物理问题而定。 所谓定解问题，就是满足某种定解条件的泛定方程的求解问题，即 $$ \left\{\begin{array}{l} \text { 泛定方程, } \\ \text { 定解条件. } \end{array}\right. $$ 若定解条件为初值条件，则称该定解问题为初值问题或 Cauchy（柯西）问题；若定解条件为边值条件，则称该定解问题为边值问题；若定解条件中既有初值条件又有边值条件，这时称定解问题为初边值问题或混合问题．
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