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三类典型的边值条件

3.2 三类典型的边值条件

关于边值条件的提法，通常有三种形式，这里以热传导现象为例加以说明．
第一边值条件：如果物体 $G$ 与外界接触的表面的温度是已知的，这时边值条件的提法是

$$
\left.u\right|_{\Gamma}=\varphi_1(x, y, z, t),
$$

其中 $\Gamma$ 是物体 $G$ 的表面，$\varphi_1$ 是定义在 $(x, y, z) \in \Gamma, 0 \leqslant t \leqslant T$ 上的已知函数．具有这种边值条件的定解问题称为第一边值问题或 Dirichlet 问题．
第二边值条件：如果在物体 $G$ 和外界接触的表面上，知道的是热量通过表面 $\Gamma$ 上各点的流速，即知道在单位时间内通过物体 $G$ 的表面 $\Gamma$ 上从物体内向外流出的热量，亦即已知热流强度 $q(x, y, z ; t)$ ．根据 $\S 2$ Fourier 热传导定律，我们有

$$
\left.\left(-\kappa \frac{\partial u}{\partial \nu}\right)\right|_{\Gamma}=q(x, y, z, t), \quad 0 \leqslant t \leqslant T,
$$

这时边值条件的提法应是

$$
\left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{\Gamma}=\varphi_2(x, y, z, t),
$$

其中 $\varphi_2=-\frac{q}{\kappa}$ 是定义在 $(x, y, z) \in \Gamma, 0 \leqslant t \leqslant T$ 上的已知函数．这实际上是知道温度函数 $u$ 在物体表面 $\Gamma$ 上的法向导数．带有边值条件（3．5）的定解问题称为第二边值问题或 Neumann 问题．

特别地，如果 $G$ 的表面 $\Gamma$ 是绝热边界，因而 $q=0$ ，则条件（3．5）简化为

$$
\left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{\Gamma}=0, \quad 0 \leqslant t \leqslant T .
$$

第三边值条件：当物体位于另一个介质中，且假设介质的温度 $u_1$ 是已知的， $u_1$ 与物体表面上的温度 $u$ 往往并不相同，这时会有热交换。由 Newton 冷却定律：在单位时间内从物体表面单位面积中流向介质的热量 $q(x, y, z, t)$ 同物体与介质在表面处的温度差成正比，即
$$
q=h\left(u-u_1\right)
$$

其中 $h>0$ 称为两种介质间的热传导系数．
考察在物体中无限贴近于介质表面 $\Gamma$ 的曲面 $\Gamma_1$ ，由于在物体表面热量不能累积，因此在曲面 $\Gamma_1$ 上的热量应等于表面 $\Gamma$ 上的热量。而流过曲面 $\Gamma_1$ 的热量由 Fourier 热传导定律所确定，为 $-\kappa \frac{\partial u}{\partial \nu}$ ．因此，我们有如下关系式：

$$
-\kappa \frac{\partial u}{\partial \nu}=q
$$

即

$$
-\kappa \frac{\partial u}{\partial \nu}=h\left(u-u_1\right)
$$

因此，在这种情形下的边值条件是

$$
\left.\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}+\sigma u\right)\right|_{\Gamma}=\varphi_3(x, y, z, t)
$$
其中 $\sigma=\frac{h}{\kappa}, \varphi_3=\frac{h}{\kappa} u_1$ ．具有条件（3．8）的定解问题称为第三边值问题或 Robin问题．

注 1.2 对波动方程，Laplace 方程等，我们也可以考虑相应的 Dirichlet 问题，Neumann 问题和 Robin 问题．

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