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能量积分

§3 能量积分，唯一性和稳定性

前面两节，我们已经研究了波动方程的 Cauchy 问题解的存在性，并在第三章还对某些特殊区域用分离变量法得到了混合问题解的存在性．在这一节我们将讨论这些问题解的唯一性和稳定性．关于波动方程解的唯一性和稳定性的研究，基本的方法是建立解的先验估计，即能量积分估计。
3.1 能量积分

设 $\Omega$ 是 $R ^n$ 中的有界区域，边界为 $\Gamma$ ．下面分三种情形给出能量积分的表达式．
情形 I：第一边值问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 \Delta u=0, \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \Omega, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \bar{\Omega}, \\
\left.u\right|_{\Gamma \times[0, \infty)}=0,
\end{array}\right.
$$

其中 $\Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}$ ．其能量积分为

$$
E(t)=\frac{1}{2} \int_{\Omega}\left(u_t^2+a^2|\nabla u|^2\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n,
$$

其中 $\nabla u=\left(u_{x_1}, u_{x_2}, \cdots, u_{x_n}\right),|\nabla u|^2=\sum_{i=1}^n u_{x_i}^2$ ．
现在以 $n=1$ ，即弦振动方程的情况为例 ${ }^1$（第一章 $\S 2$ ），来说明能量积分 $(3.2)$ 的物理意义．在微弦段 $[x, x+ d x]$ 上，该微弦段的质量为 $\rho d x$ ，速度为 $u_t$ ，所以它具有的动能为 $\frac{1}{2} \rho u_t^2 d x$ ．又由于弦段的张力为 $T$ ，该微弦段在舍去高阶小量后伸长的长度为

$$
\left(\sqrt{1+u_x^2}-1\right) d x \approx \frac{1}{2} u_x^2 d x,
$$

所以它具有的位能（弹性势能）为 $\frac{1}{2} T u_x^2 d x$ ．注意到 $a^2=\frac{T}{\rho}$ ，于是，若不计常数因子 $\rho$ 的相差，则积分

$$
\frac{1}{2} \int_0^l\left(u_t^2+a^2 u_x^2\right) d x
$$

就是弦段 $[0, l]$ 在时刻 $t$ 的总能量．
情形 II：第二边值问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 \Delta u=0, \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \Omega, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \bar{\Omega}, \\
\left.\frac{\partial u}{\partial \nu}\right|_{\Gamma \times[0, \infty)}=0,
\end{array}\right.
$$

此时，有同样的能量积分表达式（3．2）．
情形 III：第三边值问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 \Delta u=0, \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \Omega, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \bar{\Omega}, \\
\left.\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}+\sigma u\right)\right|_{\Gamma \times[0, \infty)}=0,
\end{array}\right.
$$

对这种情形，其能量积分为

$$
E(t)=\frac{1}{2} \int_{\Omega}\left(u_t^2+a^2|\nabla u|^2\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n+\frac{1}{2} a^2 \sigma \int_{\Gamma} u^2 d S,
$$

其中 $d S$ 表示曲面 $\Gamma$ 上的面积单元．
仍以 $n=1$ 为例来说明能量积分（3．7）的物理意义．此时边值条件为

$$
\left.\left(u_x-\sigma u\right)\right|_{x=0}=0,\left.\quad\left(u_x+\sigma u\right)\right|_{x=l}=0,
$$

而

$$
E(t)=\frac{1}{2} \int_0^l\left(u_t^2+a^2 u_x^2\right) d x+\frac{1}{2} a^2 \sigma\left(u^2(0, t)+u^2(l, t)\right) .
$$

从物理上讲，边值条件（3．8）相当于弹性支承．所以在考虑总能量时，必须把弹性支承的位能考虑进去．由 Hooke 定律易知，弹性系数为 $k$ 的弹性支承在形变为 $u$ 时的位能为 $\frac{1}{2} k u^2$ ．因此，在两端点处弹性支承的位能为

$$
\frac{1}{2} k\left(u^2(0, t)+u^2(l, t)\right) .
$$

注意到 $a^2=\frac{T}{\rho}, \sigma=\frac{k}{T}$ ，从而（3．9）式给出的 $E(t)$ 仅与总能量相差一常数因子 $\rho$ ．

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