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偏微分方程
第五篇 波动方程
能量积分
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更新:
2025-04-30 07:29
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能量积分
§3 能量积分,唯一性和稳定性 前面两节,我们已经研究了波动方程的 Cauchy 问题解的存在性,并在第三章还对某些特殊区域用分离变量法得到了混合问题解的存在性.在这一节我们将讨论这些问题解的唯一性和稳定性.关于波动方程解的唯一性和稳定性的研究,基本的方法是建立解的先验估计,即能量积分估计。 3.1 能量积分 设 $\Omega$ 是 $R ^n$ 中的有界区域,边界为 $\Gamma$ .下面分三种情形给出能量积分的表达式. 情形 I:第一边值问题: $$ \left\{\begin{array}{l} u_{t t}-a^2 \Delta u=0, \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \Omega, \quad t>0, \\ \left.u\right|_{t=0}=\varphi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \bar{\Omega}, \\ \left.u\right|_{\Gamma \times[0, \infty)}=0, \end{array}\right. $$ 其中 $\Delta u=\sum_{i=1}^n u_{x_i x_i}$ .其能量积分为 $$ E(t)=\frac{1}{2} \int_{\Omega}\left(u_t^2+a^2|\nabla u|^2\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n, $$ 其中 $\nabla u=\left(u_{x_1}, u_{x_2}, \cdots, u_{x_n}\right),|\nabla u|^2=\sum_{i=1}^n u_{x_i}^2$ . 现在以 $n=1$ ,即弦振动方程的情况为例
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