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非齐次波动方程的 Cauchy 问题与基希霍夫公式

2.6 非齐次波动方程的 Cauchy 问题

考虑如下三维非齐次波动方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 \Delta u=f(x, y, z, t), \quad(x, y, z) \in R ^3, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y, z),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y, z), \quad(x, y, z) \in R ^3 .
\end{array}\right.
$$

利用叠加原理，可以把这个定解问题的求解分成如下两个定解问题的求解：

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 \Delta u=0, \quad(x, y, z) \in R ^3, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y, z),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y, z), \quad(x, y, z) \in R ^3
\end{array}\right.
$$

和

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 \Delta u=f(x, y, z, t), \quad(x, y, z) \in R ^3, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=0,\left.\quad u_t\right|_{t=0}=0, \quad(x, y, z) \in R ^3
\end{array}\right.
$$

即若函数 $u_1$ 和 $u_2$ 分别是定解问题（I）和（II）的解，则 $u=u_1+u_2$ 就是定解问题（2．27）的解．

关于问题（I），我们在前面已经讨论过了，下面只就问题（II）进行讨论．由第四章 $\S 1$ 的定理 4．1，我们有如下齐次化原理：

定理 5.6 （齐次化原理）若 $w(x, y, z, t ; \tau)$ 是定解问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
w_{t t}-a^2 \Delta w=0, \quad(x, y, z) \in R ^3, \quad t>\tau \\
\left.w\right|_{t=\tau}=0,\left.\quad w_t\right|_{t=\tau}=f(x, y, z, \tau), \quad(x, y, z) \in R ^3
\end{array}\right.
$$

的解，则函数

$$
u(x, y, z, t)=\int_0^t w(x, y, z, t ; \tau) d \tau
$$

是定解问题（II）的解．
因此只要定解问题（III）可解，则由（2．28）式给出的函数 $u$ 就是定解问题（II）的解．

为了写出定解问题（III）的求解公式，我们作变换 $t^{\prime}=t-\tau$ ，这样就可利用 Poisson 公式（2．11），得到

$$
\begin{aligned}
w(x, y, z, t ; \tau) & =\left.\frac{1}{4 \pi a} \iint_{S_{a t^{\prime}}(M)}\left(\frac{f(\xi, \eta, \zeta, \tau)}{r}\right)\right|_{r=a t^{\prime}} d S \\
& =\left.\frac{1}{4 \pi a} \iint_{S_{a(t-\tau)}(M)}\left(\frac{f(\xi, \eta, \zeta, \tau)}{r}\right)\right|_{r=a(t-\tau)} d S
\end{aligned}
$$

将（2．29）式代入（2．28）式得

$$
\begin{aligned}
u(x, y, z, t) & =\left.\frac{1}{4 \pi a} \int_0^t \iint_{S_{a(t-\tau)}(M)}\left(\frac{f(\xi, \eta, \zeta, \tau)}{r}\right)\right|_{r=a(t-\tau)} d S d \tau \\
& =\frac{1}{4 \pi a^2} \int_0^{a t} \iint_{S_r(M)} \frac{f\left(\xi, \eta, \zeta, t-\frac{r}{a}\right)}{r} d S d r \quad\left(\tau=t-\frac{r}{a}\right) \\
& =\frac{1}{4 \pi a^2} \iiint_{K_{a t}(M)} \frac{f\left(\xi, \eta, \zeta, t-\frac{r}{a}\right)}{r} d \Omega,
\end{aligned}
$$

其中 $K_{a t}(M)$ 表示以点 $M(x, y, z)$ 为球心，at 为半径的球体， $d \Omega$ 表示体积元素．我们称（2．30）式为 Kirchhoff（基希霍夫）公式．于是在时刻 $t$ 位于点 $M$ 处的函数 $u(x, y, z, t)$ 的数值，可由函数 $f$ 在时刻 $\tau=t-\frac{r}{a}$ 在此球的三重积分表示，这里 $u$ 的时间比 $f$ 推迟了 $\frac{r}{a}$ ，所以我们称（2．30）式的积分为推迟式．这个时间差正好是波以速度 $a$ 从点 $(\xi, \eta, \zeta)$ 传播到点 $(x, y, z)$ 所需要的时间．

关于二维的情况，可作类似的讨论．
注 5.6 像 $\S 1$ 中处理半直线上一维波动方程的混合问题那样，我们也可以考虑半平面上二维波动方程的混合问题和半空间中三维波动方程的混合问题，即下列混合问题：

$$
\begin{gathered}
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, \quad x \in R , \quad y>0, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad x \in R , \quad y \geqslant 0, \\
\left.u\right|_{y=0}=0, \quad \text { 或 }\left.\quad u_y\right|_{y=0}=0, \quad x \in R , \quad t \geqslant 0 ;
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)=0, \quad(x, y) \in R ^2, \quad z>0, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y, z),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y, z), \quad(x, y) \in R ^2, \quad z \geqslant 0, \\
\left.u\right|_{z=0}=0, \quad \text { 或 }\left.u_z\right|_{z=0}=0, \quad(x, y) \in R ^2, \quad t \geqslant 0 .
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$

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