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波速与Poisson 公式的物理意义

2.4 波的传播速度

由关于影响区域的讨论知，无论是对二维还是三维的情形，在时刻 $t=0$ 时，点 $P$ 处的一个初始扰动在经过时间 $t$ 以后，不会对与点 $P$ 的距离大于 at 的点产生影响．也就是说，扰动以速度 $a$ 传播．扰动具有有限传播速度是波动方程解的最基本的特征．

2．5 Poisson 公式的物理意义
在讨论依赖区域和影响区域时，我们已经看到二维和三维的情形有着很大的不同，在描述波传播的规律时二者的区别更明显．

1．三维空间波传播的物理性质
从 2.3 小节的讨论中我们知道，初始扰动对波的影响是由 Poisson 公式（2．11）给出的．下面我们就从 Poisson 公式（2．11）出发，讨论三维波传播的物理性质．为简单起见，我们只研究局部扰动的传播，即假定初值函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 仅在某个有界区域 $\Omega$ 上不为零（不妨设 $\varphi>0, \psi>0$ ），在 $\Omega$ 以外等于零．今在空间中任取一点 $M(x, y, z)$ ，考察每个时刻点 $M$ 所受到的初始扰动的影响情况．由 Pois－ son 公式（2．11），我们知道函数 $u(x, y, z, t)$ 在点 $M$ 处及时刻 $t$ 的值完全由初值数据 $\varphi$ 和 $\psi$ 在已知球面 $S_{a t}(M)$ 上的值所确定，因此，函数 $u(x, y, z, t)$ 的值只有当球面 $S_{a t}(M)$ 与区域 $\Omega$ 相交时才不为零．令 $d$ 和 $D$ 分别表示从点 $M$ 到区域 $\Omega$ 的最近点和最远点之间的距离（当 $M \in \Omega$ 时，取 $d=0$ ）（如图 5－13）．
 ![图片](/uploads/2025-04/1a10dc.jpg)
 
 于是，
（i）当 $a t<d\left(\right.$ 即 $\left.t<\frac{d}{a}\right)$ 时，公式（2．11）中的积分球面 $S_{a t}(M)$ 与初始扰动区域 $\Omega$ 有一段距离，在球面 $S_{a t}(M)$ 上 $\varphi \equiv 0, \psi \equiv 0$, 从而 $u(x, y, z, t)=0$ ，这说明扰动还未到达点 $M$ ．
（ii）当 $d \leqslant a t \leqslant D\left(\right.$ 即 $\left.\frac{d}{a} \leqslant t \leqslant \frac{D}{a}\right)$ 时，
积分球面 $S_{a t}(M)$ 与初始扰动区域 $\Omega$ 相交，这时 $u(x, y, z, t) \neq 0$ ，这说明初始扰动在时刻 $t=\frac{d}{a}$ 到达点 $M$ ，点 $M$ 开始进入受扰动状态，扰动来时有清晰的波前．
（iii）当 $a t>D\left(\right.$ 即 $\left.t>\frac{D}{a}\right)$ 时，积分球面 $S_{a t}(M)$ 已越过了初始扰动区域 $\Omega$ ，波函数 $u(x, y, z, t)$ 的值从时刻 $t=\frac{D}{a}$ 开始又回到了零．这时所有的扰动都已掠过了点 $M$ ，点 $M$ 又恢复到原先的状态．这表明波去时有清晰的波后，没有留下任何后效．

由此可见，在区域 $\Omega$ 内任一点 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处在初始时刻 $t=0$ 时的一个瞬时扰动，随着时间的增加将以速度 $a$ 向四周扩散，经过时间 $t$ 后，它传播到以 $P_0$ 为中心 $a t$ 为半径的球面

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=a^2 t^2
$$

上，这表明对于与点 $P_0$ 的空间距离为 $r$ 的一切点，只有当 $t=\frac{r}{a}$ 时，这些点才落在扰动球面 $S_r\left(P_0\right)$ 上，过后又恢复到未受扰动前的状态。由此可见，在时刻 $t$ 处于扰动状态的区域是由无数个球面所组成的，这些球面就是以 $\Omega$ 中每一点 $P$ 为中心，at 为半径的球面族 $S_{a t}(P)$ ．这种球面族 $S_{a t}(P)$ 有内外两个包络面，此包络面就是处于扰动状态区域的界面．我们称外包络面为传播波的前阵面，内包络面为传播波的后阵面。前阵面与后阵面的中间部分就是受到初始扰动影响的部分。前阵面以外的部分表示波还未传到的区域，后阵面以内的部分是波已传过并恢复了原来状态的区域。因此当初始扰动限制在空间某一局部范围内时，波的传播有清晰的前阵面和后阵面，这个现象称为 Huygens（惠更斯）原理或无后效现象，声波的传播就是这样．Huygens 原理对信号的传送与接收具有重要意义．

2．二维空间波传播的物理性质
在二维的情形，我们仍只研究局部扰动的传播，即仍假设在 $O-x y$ 平面上某个有界区域 $\Omega$ 内，$\varphi(x, y)>0, \psi(x, y)>0$ ，在 $\Omega$ 以外 $\varphi(x, y) \equiv 0, \psi(x, y) \equiv 0$ 。今在 $O-x y$ 平面上任取一点 $M(x, y)$ ，为了考察在时刻 $t$ 点 $M$ 所受到的初始扰动的影响情况，设点 $M(x, y)$ 与初始扰动区域 $\Omega$ 最近点的距离是 $d_1$（当 $M \in \Omega$ 时，取 $d_1=0$ ）（如图 5－14）．

于是，
（i）当 $a t<d_1\left(\right.$ 即 $\left.t<\frac{d_1}{a}\right)$ 时，Poisson 公式（2．15）中的积分区域 $\Sigma_{a t}(M)$ 与初始扰动区域 $\Omega$ 没有公共部分，圆 $\Sigma_{a t}(M)$ 内 $\varphi(x, y) \equiv$ $0, \psi(x, y) \equiv 0$ ，从而 $u(x, y, z, t)=0$ ，这说明初始扰动还未到达点 $M$ ．
（ii）当 $a t \geqslant d_1\left(\right.$ 即 $\left.t \geqslant \frac{d_1}{a}\right)$ 时，积分区 域 $\Sigma_{a t}(M)$ 与初始扰动区域 $\Omega$ 有公共部分，或者 $\Sigma_{a t}(M)$ 包含着整个 $\Omega$ ，这时 $u(x, y, z, t) \neq 0$ ，这表明一旦扰动传播到点 $M$ ，激起了点 $M$ 的振动之后，此扰动在以后并不消失，仅仅是随时间 $t$ 的无限增大而逐渐减小，留下的是逐渐趋于零的长久后效．因此在二维的情形，局部范围中的
 ![图片](/uploads/2025-04/341ee1.jpg)
 
 初始扰动具有长期持续的后效特性，波的传播有清晰的前阵面，但没有后阵面．这时 Huygens 原理不成立。我们称这种现象为波的弥散或称这种波具有后效现象。这是二维波与三维波的本质差别。

如果我们把二维波动问题视为所给初始扰动是在一个无限长的柱体内发生，而不依赖于第三个坐标 $z$ 的三维波动问题．这样，产生后效的原因和过程就不难想象了．

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