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偏微分方程
第五篇 波动方程
波速与Poisson 公式的物理意义
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2025-04-30 07:26
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波速与Poisson 公式的物理意义
2.4 波的传播速度 由关于影响区域的讨论知,无论是对二维还是三维的情形,在时刻 $t=0$ 时,点 $P$ 处的一个初始扰动在经过时间 $t$ 以后,不会对与点 $P$ 的距离大于 at 的点产生影响.也就是说,扰动以速度 $a$ 传播.扰动具有有限传播速度是波动方程解的最基本的特征. 2.5 Poisson 公式的物理意义 在讨论依赖区域和影响区域时,我们已经看到二维和三维的情形有着很大的不同,在描述波传播的规律时二者的区别更明显. 1.三维空间波传播的物理性质 从 2.3 小节的讨论中我们知道,初始扰动对波的影响是由 Poisson 公式(2.11)给出的.下面我们就从 Poisson 公式(2.11)出发,讨论三维波传播的物理性质.为简单起见,我们只研究局部扰动的传播,即假定初值函数 $\varphi$ 和 $\psi$ 仅在某个有界区域 $\Omega$ 上不为零(不妨设 $\varphi>0, \psi>0$ ),在 $\Omega$ 以外等于零.今在空间中任取一点 $M(x, y, z)$ ,考察每个时刻点 $M$ 所受到的初始扰动的影响情况.由 Pois- son 公式(2.11),我们知道函数 $u(x, y, z, t)$ 在点 $M$ 处及时刻 $t$ 的值完全由初值数据 $\varphi$ 和 $\psi$ 在已知球面 $S_{a t}(M)$ 上的值所确定,因此,函数 $u(x, y, z, t)$ 的值只有当球面 $S_{a t}(M)$ 与区域 $\Omega$ 相交时才不为零.令 $d$ 和 $D$ 分别表示从点 $M$ 到区域 $\Omega$ 的最近点和最远点之间的距离(当 $M \in \Omega$ 时,取 $d=0$ )(如图 5-13).  于是, (i)当 $a t<d\left(\right.$ 即 $\left.t<\frac{d}{a}\right)$ 时,公式(2.11)中的积分球面 $S_{a t}(M)$ 与初始扰动区域 $\Omega$ 有一段距离,在球面 $S_{a t}(M)$ 上 $\varphi \equiv 0, \psi
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