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依赖区域，决定区域和影响区域

2.3 依赖区域，决定区域和影响区域

波动方程的依赖区域，决定区域和影响区域与其特征曲面有关．
1．二维的情形
若在空间 $O-x y t$ 内任取一点 $\left(x_0, y_0, t_0\right)$ ，这时它的依赖区域可由 Poisson 公式（2．15）给出，解在这点的值可由初值平面 $t=0$ 上以点 $\left(x_0, y_0\right)$ 为中心，$a t_0$ 为半径的圆内的初值数据 $\varphi(x, y), \psi(x, y)$ 的积分所表达，它不依赖于此圆外 $\varphi$ 和 $\psi$ 的值．因此，我们称平面 $t=0$ 上的圆域（不是圆周）

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant a^2 t_0^2
$$

为点 $\left(x_0, y_0, t_0\right)$ 的依赖区域，它是三维空间中的实心锥（我们也称它为二维波动方程的特征锥）

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant a^2\left(t_0-t\right)^2
$$

与平面 $t=0$ 的截口（如图 5－11）．

反之，初值数据 $\varphi$ 与 $\psi$ 在初值平面 $t=0$ 上区域（2．20）中的值唯一地决定了以 $\left(x_0, y_0, t_0\right)$ 为顶点，以该区域为底的圆雉体区域（如图 5－10）

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant a^2\left(t-t_0\right)^2, \quad t \leqslant t_0
$$

上的解．因此，圆雉体区域（2．20）就称为平面 $t=0$ 上区域（2．19）的决定区域．
下面我们讨论初值平面 $t=0$ 上一点 $\left(x_0, y_0, 0\right)$ 的影响区域，也就是说要找出这样的点 $(x, y, t)$ 的全体，它的依赖区域包含点 $\left(x_0, y_0, 0\right)$ ．容易看出，点 $\left(x_0, y_0, 0\right)$的影响区域为以该点为顶点的向上的实心特征锥（如图 5－12）：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant a^2 t^2, \quad t>0
$$

![图片](/uploads/2025-04/151a10.jpg)
 
 初值平面上某一个区域的影响区域，就是此区域上每一点所对应的圆雉体（2．21）的包络面所围成的区域。

例 5.8 求解 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, \quad(x, y) \in R ^2, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad(x, y) \in R ^2
\end{array}\right.
$$

的解关于空间 $O$－xyt 内点 $(5,1,3)$ 的依赖区域，关于平面 $t=0$ 上圆域

$$
\left\{(x, y) \mid(x-4)^2+(y-3)^2 \leqslant 16 a^2\right\}
$$

的决定区域和平面 $t=0$ 上点 $(5,1,0)$ 的影响区域．
解 按照依赖区域的定义，平面 $t=0$ 上的圆域

$$
\left\{(x, y) \mid(x-5)^2+(y-1)^2 \leqslant 9 a^2\right\}
$$

为点 $(5,1,3)$ 的依赖区域．

以平面 $t=0$ 上的圆周 $\left\{(x, y) \mid(x-4)^2+(y-3)^2=16 a^2\right\}$ 为准线，以空间 $O$－xyt 内的点 $(4,3,4)$ 为顶点的圆锥体为

$$
\left\{(x, y, t) \mid(x-4)^2+(y-3)^2 \leqslant a^2(t-4)^2, \quad 0 \leqslant t \leqslant 4\right\} .
$$

按照决定区域的定义，圆雉体域 $\left\{(x, y, t) \mid(x-4)^2+(y-3)^2 \leqslant a^2(t-4)^2, \quad 0 \leqslant\right.$ $t \leqslant 4\}$ 为圆域 $\left\{(x, y) \mid(x-4)^2+(y-3)^2 \leqslant 16 a^2\right\}$ 的决定区域．

按照影响区域的定义，以点 $(5,1,0)$ 为顶点向上的实心圆雉体域

$$
\left\{(x, y, t) \mid(x-5)^2+(y-1)^2 \leqslant a^2 t^2, \quad t \geqslant 0\right\}
$$

为点 $(5,1,0)$ 的影响区域．
2．三维的情形
对空间 $O-x y z t$ 内的一点 $\left(x_0, y_0, z_0, t_0\right)$ ，它的依赖区域可根据 Poisson 公式（2．11）确定，在此点解的值 $u\left(x_0, y_0, z_0, t_0\right)$ ，由超平面 $t=0$ 上初值数据 $\varphi$ 和 $\psi$ 在以点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 为心，$a t_0$ 为半径的球面上的数值所完全确定，而和 $\varphi, \psi$ 在此球面外及球面内的数值无关。因此，我们称超平面 $t=0$ 上的球面

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=a^2 t_0^2
$$

为点 $\left(x_0, y_0, z_0, t_0\right)$ 的依赖区域．球面（2．24）实际上是四维空间的锥面（我们也称它为三维波动方程的特征锥面）

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2=a^2\left(t-t_0\right)^2
$$

与平面 $t=0$ 的截口．
反之，初始平面 $t=0$ 上球面（2．24）内部区域的决定区域就是以它为底，以 $\left(x_0, y_0, z_0, t_0\right)$ 为顶点的圆锥体区域：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2 \leqslant a^2\left(t-t_0\right)^2, \quad t \leqslant t_0 .
$$

对于初始平面 $t=0$ 上的一点 $\left(x_0, y_0, z_0, 0\right)$ ，它的影响区域为以该点为顶点的向上的特征锥面：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2+\left(z-z_0\right)^2 \leqslant a^2 t^2, \quad t>0 .
$$

至于初始平面 $t=0$ 上某一区域的影响区域，则由该区域上过每一点所作锥面（2．26）的包络所围成。

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