最后更新: 2025-04-30 07:22 查看: 92 次纠错评论(0) 课件开VIP

二维齐次波动方程的 Cauchy 问题和降维法

2.2 二维齐次波动方程的 Cauchy 问题和降维法

对于二维齐次波动方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, \quad(x, y) \in R ^2, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad(x, y) \in R ^2,
\end{array}\right.
$$

我们将试图从公式（2．11）出发，利用降维法来求解．为此我们把问题（2．13）看成是三维的特殊情形，虽然初始数据与自变量 $z$ 无关，仍把它视为三维空间的函数。这样，就可利用前面讨论的三维波动方程的 Cauchy 问题的结果来求解二维波动方程的 Cauchy 问题．

由 Poisson 公式（2．11）便可写出 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)=0, \quad(x, y, z) \in R ^3, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad(x, y) \in R ^2
\end{array}\right.
$$

的解为

$$
\bar{u}(x, y, z, t)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{4 \pi a^2 t} \iint_{S_{a t}(M)} \varphi d S\right)+\frac{1}{4 \pi a^2 t} \iint_{S_{a t}(M)} \psi d S
$$

这里的积分都是在三维空间中的球面 $S_{a t}(M):(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2=a^2 t^2$ 上进行的。

若我们能验证（2．14）式中右边的两个积分都是与 $z$ 无关的函数，则由（2．14）式定义的函数就是 Cauchy 问题（2．13）的解（为什么？）．

下面我们将来验证（2．14）式中右边的两个积分都是与 $z$ 无关的函数．作球面坐标变换：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=x+a t \sin \theta \cos \phi \\
\eta=y+a t \sin \theta \sin \phi \\
\zeta=z+a t \cos \theta
\end{array}\right.
$$

则（2．14）式可以改写为

$$
\begin{aligned}
u(x, y, t)= & \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{t}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \varphi(x+a t \sin \theta \cos \phi, y+a t \sin \theta \sin \phi) \sin \theta d \theta d \phi\right)+ \\
& \frac{t}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \psi(x+a t \sin \theta \cos \phi, y+a t \sin \theta \sin \phi) \sin \theta d \theta d \phi \\
= & \frac{1}{2 \pi a} \frac{\partial}{\partial t} \int_0^{a t} \int_0^{2 \pi} \frac{\varphi(x+\rho \cos \phi, y+\rho \sin \phi)}{\sqrt{a^2 t^2-\rho^2}} \rho d \phi d \rho+ \\
& \frac{1}{2 \pi a} \int_0^{a t} \int_0^{2 \pi} \frac{\psi(x+\rho \cos \phi, y+\rho \sin \phi)}{\sqrt{a^2 t^2-\rho^2}} \rho d \phi d \rho .
\end{aligned}
$$

在上面的等式中，我们利用了积分变换 $\rho=a t \sin \theta$ ，并把关于 $\theta$ 从 0 到 $\pi$ 的积分分成了从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的积分加上从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$ 的积分．

公式（2．15）确实是与变元 $z$ 无关的函数，从而它就是 Cauchy 问题（2．13）的解，亦称它为二维波动方程的 Poisson 公式．

注 5.4 验证（2．14）式中右边的两个积分都是与 $z$ 无关的函数的传统做法如下：将（2．14）式中的两个曲面积分化为它在平面 $\zeta=z$ 上的投影 $\Sigma_{a t}(M):(\xi-x)^2+(\eta-$ $y)^2 \leqslant a^2 t^2$ 上的积分（如图 5－10）．

![图片](/uploads/2025-04/d11090.jpg)
 
 由于曲面 $S_{a t}(M)$ 的方程为

$$
(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2=a^2 t^2,
$$

其上半球面的方程为

$$
\zeta=z+\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}
$$

从而

$$
\left\{\begin{array}{l}
\zeta_{\xi}=-\frac{\xi-x}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}, \\
\zeta_\eta=-\frac{\eta-y}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}
\end{array}\right.
$$

由于函数 $\varphi$ 和函数 $\psi$ 都与 $\zeta$ 无关，因此（2．14）式中的两个曲面积分在上半球面与下半球面的值相等，于是 $\bar{u}(x, y, z, t)$ 就可写成

$$
\begin{aligned}
u(x, y, t)= & \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{2}{4 \pi a^2 t} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \varphi(\xi, \eta) \sqrt{1+\zeta_{\xi}^2+\zeta_\eta^2} d \xi d \eta\right)+ \\
& \frac{2}{4 \pi a^2 t} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \psi(\xi, \eta) \sqrt{1+\zeta_{\xi}^2+\zeta_\eta^2} d \xi d \eta \\
= & \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{2}{4 \pi a} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \frac{\varphi(\xi, \eta)}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}} d \xi d \eta\right)+ \\
& \frac{2}{4 \pi a} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \frac{\psi(\xi, \eta)}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}} d \xi d \eta \\
= & \frac{1}{2 \pi a} \frac{\partial}{\partial t} \int_0^{a t} \int_0^{2 \pi} \frac{\varphi(x+\rho \cos \phi, y+\rho \sin \phi)}{\sqrt{a^2 t^2-\rho^2}} \rho d \phi d \rho+
\end{aligned}
$$

在上面的等式中，我们利用了极坐标变换．
公式（2．16）也通常称为二维波动方程的 Poisson 公式．
对一维波动方程的 Cauchy 问题，同样可用降维法写出它的求解公式，这里我们留作习题，让读者自己去完成。

注 5.5 降维法不仅适用于波动方程，也适用于某些其他类型的方程．在许多情况下，这一方法使我们从多个自变量方程的求解公式中，推导出自变量个数较少的方程的求解公式．

例 5.7 求解 Cauchy 问题

$$
\begin{cases}u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, & (x, y) \in R ^2, \quad t>0, \\ \left.u\right|_{t=0}=0,\left.\quad u_t\right|_{t=0}=x y, & (x, y) \in R ^2 .\end{cases}
$$

解 利用二维 Poisson 公式（2．15），有

$$
u(x, y, t)=\frac{t}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi(x+a t \sin \theta \cos \phi)(y+a t \sin \theta \sin \phi) \sin \theta d \theta d \phi=x y t
$$

其中我们利用了关系式

$$
\int_0^{2 \pi} \sin \phi d \phi=\int_0^{2 \pi} \cos \phi d \phi=\int_0^{2 \pi} \sin 2 \phi d \phi=0 .
$$

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：三维齐次波动方程的 Cauchy 问题和球面平均法

下一篇：依赖区域，决定区域和影响区域

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)