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二维齐次波动方程的 Cauchy 问题和降维法

2.2 二维齐次波动方程的 Cauchy 问题和降维法

对于二维齐次波动方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, \quad(x, y) \in R ^2, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad(x, y) \in R ^2,
\end{array}\right.
$$

我们将试图从公式（2．11）出发，利用降维法来求解．为此我们把问题（2．13）看成是三维的特殊情形，虽然初始数据与自变量 $z$ 无关，仍把它视为三维空间的函数。这样，就可利用前面讨论的三维波动方程的 Cauchy 问题的结果来求解二维波动方程的 Cauchy 问题．

由 Poisson 公式（2．11）便可写出 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)=0, \quad(x, y, z) \in R ^3, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad(x, y) \in R ^2
\end{array}\right.
$$

的解为

$$
\bar{u}(x, y, z, t)=\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{1}{4 \pi a^2 t} \iint_{S_{a t}(M)} \varphi d S\right)+\frac{1}{4 \pi a^2 t} \iint_{S_{a t}(M)} \psi d S
$$

这里的积分都是在三维空间中的球面 $S_{a t}(M):(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2=a^2 t^2$ 上进行的。

若我们能验证（2．14）式中右边的两个积分都是与 $z$ 无关的函数，则由（2．14）式定义的函数就是 Cauchy 问题（2．13）的解（为什么？）．

下面我们将来验证（2．14）式中右边的两个积分都是与 $z$ 无关的函数．作球面坐标变换：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\xi=x+a t \sin \theta \cos \phi \\
\eta=y+a t \sin \theta \sin \phi \\
\zeta=z+a t \cos \theta
\end{array}\right.
$$

则（2．14）式可以改写为

$$
\begin{aligned}
u(x, y, t)= & \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{t}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \varphi(x+a t \sin \theta \cos \phi, y+a t \sin \theta \sin \phi) \sin \theta d \theta d \phi\right)+ \\
& \frac{t}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi \psi(x+a t \sin \theta \cos \phi, y+a t \sin \theta \sin \phi) \sin \theta d \theta d \phi \\
= & \frac{1}{2 \pi a} \frac{\partial}{\partial t} \int_0^{a t} \int_0^{2 \pi} \frac{\varphi(x+\rho \cos \phi, y+\rho \sin \phi)}{\sqrt{a^2 t^2-\rho^2}} \rho d \phi d \rho+ \\
& \frac{1}{2 \pi a} \int_0^{a t} \int_0^{2 \pi} \frac{\psi(x+\rho \cos \phi, y+\rho \sin \phi)}{\sqrt{a^2 t^2-\rho^2}} \rho d \phi d \rho .
\end{aligned}
$$

在上面的等式中，我们利用了积分变换 $\rho=a t \sin \theta$ ，并把关于 $\theta$ 从 0 到 $\pi$ 的积分分成了从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的积分加上从 $\frac{\pi}{2}$ 到 $\pi$ 的积分．

公式（2．15）确实是与变元 $z$ 无关的函数，从而它就是 Cauchy 问题（2．13）的解，亦称它为二维波动方程的 Poisson 公式．

注 5.4 验证（2．14）式中右边的两个积分都是与 $z$ 无关的函数的传统做法如下：将（2．14）式中的两个曲面积分化为它在平面 $\zeta=z$ 上的投影 $\Sigma_{a t}(M):(\xi-x)^2+(\eta-$ $y)^2 \leqslant a^2 t^2$ 上的积分（如图 5－10）．

![图片](/uploads/2025-04/d11090.jpg)
 
 由于曲面 $S_{a t}(M)$ 的方程为

$$
(\xi-x)^2+(\eta-y)^2+(\zeta-z)^2=a^2 t^2,
$$

其上半球面的方程为

$$
\zeta=z+\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}
$$

从而

$$
\left\{\begin{array}{l}
\zeta_{\xi}=-\frac{\xi-x}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}, \\
\zeta_\eta=-\frac{\eta-y}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}}
\end{array}\right.
$$

由于函数 $\varphi$ 和函数 $\psi$ 都与 $\zeta$ 无关，因此（2．14）式中的两个曲面积分在上半球面与下半球面的值相等，于是 $\bar{u}(x, y, z, t)$ 就可写成

$$
\begin{aligned}
u(x, y, t)= & \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{2}{4 \pi a^2 t} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \varphi(\xi, \eta) \sqrt{1+\zeta_{\xi}^2+\zeta_\eta^2} d \xi d \eta\right)+ \\
& \frac{2}{4 \pi a^2 t} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \psi(\xi, \eta) \sqrt{1+\zeta_{\xi}^2+\zeta_\eta^2} d \xi d \eta \\
= & \frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{2}{4 \pi a} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \frac{\varphi(\xi, \eta)}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}} d \xi d \eta\right)+ \\
& \frac{2}{4 \pi a} \iint_{\Sigma_{a t}(M)} \frac{\psi(\xi, \eta)}{\sqrt{a^2 t^2-(\xi-x)^2-(\eta-y)^2}} d \xi d \eta \\
= & \frac{1}{2 \pi a} \frac{\partial}{\partial t} \int_0^{a t} \int_0^{2 \pi} \frac{\varphi(x+\rho \cos \phi, y+\rho \sin \phi)}{\sqrt{a^2 t^2-\rho^2}} \rho d \phi d \rho+
\end{aligned}
$$

在上面的等式中，我们利用了极坐标变换．
公式（2．16）也通常称为二维波动方程的 Poisson 公式．
对一维波动方程的 Cauchy 问题，同样可用降维法写出它的求解公式，这里我们留作习题，让读者自己去完成。

注 5.5 降维法不仅适用于波动方程，也适用于某些其他类型的方程．在许多情况下，这一方法使我们从多个自变量方程的求解公式中，推导出自变量个数较少的方程的求解公式．

例 5.7 求解 Cauchy 问题

$$
\begin{cases}u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, & (x, y) \in R ^2, \quad t>0, \\ \left.u\right|_{t=0}=0,\left.\quad u_t\right|_{t=0}=x y, & (x, y) \in R ^2 .\end{cases}
$$

解 利用二维 Poisson 公式（2．15），有

$$
u(x, y, t)=\frac{t}{4 \pi} \int_0^{2 \pi} \int_0^\pi(x+a t \sin \theta \cos \phi)(y+a t \sin \theta \sin \phi) \sin \theta d \theta d \phi=x y t
$$

其中我们利用了关系式

$$
\int_0^{2 \pi} \sin \phi d \phi=\int_0^{2 \pi} \cos \phi d \phi=\int_0^{2 \pi} \sin 2 \phi d \phi=0 .
$$

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