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能量不等式

3.3 能量不等式

为了讨论混合问题解的稳定性，我们先建立能量不等式．设解 $u\left(x_1, x_2, \cdots\right.$ ， $\left.x_n, t\right)$ 在 $\Omega$ 上 $L^2$ 可积，记

$$
E_0(t)=\frac{1}{2} \int_{\Omega} u^2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n,
$$

将（3．11）式关于 $t$ 求导，利用 Cauchy 不等式，得

$$
\frac{d E_0(t)}{d t}=\int_{\Omega} u u_t d x_1 d x_2 \cdots d x_n
$$

将（3．11）式关于 $t$ 求导，利用 Cauchy 不等式，得

$$
\begin{aligned}
\frac{d E_0(t)}{d t} & =\int_{\Omega} u u_t d x_1 d x_2 \cdots d x_n \\
& \leqslant \frac{1}{2} \int_{\Omega} u^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n+\frac{1}{2} \int_{\Omega} u_t^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n \\
& \leqslant E_0(t)+E(t)
\end{aligned}
$$

由 Gronwall（格朗沃尔）不等式（见附录 III），上式表明

$$
E_0(t) \leqslant E_0(0) e^t+e^t \int_0^t e^{-\tau} E(\tau) d \tau
$$

由于混合问题（3．6）能量守恒，即 $E(t)=E(0)$ ，故（3．12）式可写为

$$
E_0(t) \leqslant e^t E_0(0)+E(0)\left(e^t-1\right)
$$

（3．13）式是与混合问题（3．6）的解有关的一个估计式，我们称它为能量不等式，通常亦称为先验估计。

应用能量不等式（3．13），我们立即可以得到混合问题（3．10）解的连续依赖性．
定理 5.9 混合问题（3．10）的解在下述意义下关于初值数据是稳定的，即对于任意的正数 $\varepsilon$ ，总存在正数 $\delta$ ，只要

$$
\left\|\varphi_1(\cdot)-\varphi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Omega)}<\delta, \quad\left\|\psi_1(\cdot)-\psi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Omega)}<\delta,
$$

$$
\left\|\nabla \varphi_1(\cdot)-\nabla \varphi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Omega)}<\delta, \quad\left\|\varphi_1(\cdot)-\varphi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Gamma)}<\delta
$$

就有：以 $\varphi_1, \psi_1$ 为初值的解 $u_1$ 与以 $\varphi_2, \psi_2$ 为初值的解 $u_2$ 之差满足

$$
\left\|u_1(\cdot, t)-u_2(\cdot, t)\right\|_{L^2(\Omega)}<\varepsilon
$$

或

$$
\int_0^T \int_{\Omega}\left(u_1\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)-u_2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)\right)^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n d t<\varepsilon^2 T
$$

其中 $\|g(\cdot)\|_{L^2(\Omega)}=\left(\int_{\Omega} g^2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n\right)^{\frac{1}{2}},\|g(\cdot)\|_{L^2(\Gamma)}=\left(\int_{\Gamma} g^2\right.$ $\left.\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) d S\right)^{\frac{1}{2}}$ 分别表示 $g$ 在 $\Omega$ 内及 $\Gamma$ 上的 $L^2$ 范数．

证 记 $\bar{\varphi}=\varphi_1-\varphi_2, \bar{\psi}=\psi_1-\psi_2, \bar{u}=u_1-u_2$ ，于是 $\bar{u}\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)$ 满足定解问题：

$$
\left\{\begin{array}{l}
\bar{u}_{t t}-a^2 \Delta \bar{u}=0, \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \Omega, \quad t>0 \\
\left.\bar{u}\right|_{t=0}=\bar{\varphi}\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right),\left.\quad \bar{u}_t\right|_{t=0}=\bar{\psi}\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right), \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \bar{\Omega} \\
\left.\left(\frac{\partial \bar{u}}{\partial \nu}+\sigma \bar{u}\right)\right|_{\Gamma \times[0, \infty)}=0
\end{array}\right.
$$

此时，

$$
\begin{gathered}
E_0(t)=\frac{1}{2} \int_{\Omega} \bar{u}^2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n, \\
E_0(0)=\frac{1}{2} \int_{\Omega} \bar{\varphi}^2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n
\end{gathered}
$$

及

$$
E(0)=\frac{1}{2} \int_{\Omega}\left(\bar{\psi}^2+a^2|\nabla \bar{\varphi}|^2\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n+\frac{1}{2} a^2 \sigma \int_{\Gamma} \bar{\varphi}^2 d S .
$$

当 $0 \leqslant t \leqslant T$ 时，能量不等式（3．13）可写成

$$
\begin{aligned}
E_0(t) \leqslant & e^T E_0(0)+E(0)\left(e^T-1\right) \\
\leqslant & \frac{1}{2} e^T \int_{\Omega} \bar{\varphi}^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n+\frac{1}{2}\left(e^T-1\right)\left[\int_{\Omega}\left(\bar{\psi}^2+a^2|\nabla \bar{\varphi}|^2\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n+\right. \\
& \left.a^2 \sigma \int_{\Gamma} \bar{\varphi}^2 d S\right]
\end{aligned}
$$

即

$$
\begin{aligned}
\left\|u_1(\cdot, t)-u_2(\cdot, t)\right\|_{L^2(\Omega)}^2 \leqslant & e^T\left[\left\|\varphi_1(\cdot)-\varphi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Omega)}^2+\left\|\psi_1(\cdot)-\psi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Omega)}^2+\right. \\
& \left.a^2\left\|\nabla \varphi_1(\cdot)-\nabla \varphi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Omega)}^2+a^2 \sigma\left\|\varphi_1(\cdot)-\varphi_2(\cdot)\right\|_{L^2(\Gamma)}^2\right] \\
< & e^T\left(2+a^2+a^2 \sigma\right) \delta^2,
\end{aligned}
$$
所以

$$
\left\|u_1(\cdot, t)-u_2(\cdot, t)\right\|_{L^2(\Omega)}<\delta \sqrt{e^T\left(2+a^2+a^2 \sigma\right)}
$$

若选取 $\delta=\varepsilon\left[ e ^T\left(2+a^2+a^2 \sigma\right)\right]^{-\frac{1}{2}}$ ，则

$$
\left\|u_1(\cdot, t)-u_2(\cdot, t)\right\|_{L^2(\Omega)}<\varepsilon .
$$

上式平方后在 $[0, T]$ 上关于 $t$ 积分，即得

$$
\int_0^T \int_{\Omega}\left(u_1-u_2\right)^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n d t<\varepsilon^2 T .
$$

定理证毕。
关于混合问题的解对自由项 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)$ 的连续依赖性，我们要先建立有外力作用时的能量不等式．由于外力不恒等于零，所以能量不守恒，这时从定理 5.7 的证明不难得到

$$
\frac{d E(t)}{d t}=\int_{\Omega} u_t f d x_1 d x_2 \cdots d x_n
$$

$$
\begin{aligned}
& \leqslant \frac{1}{2} \int_{\Omega} u_t^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n+\frac{1}{2} \int_{\Omega} f^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n \\
& \leqslant E(t)+\frac{1}{2} \int_{\Omega} f^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n
\end{aligned}
$$

令 $\frac{1}{2} \int_{\Omega} f^2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n=F(t)$ ，由 Gronwall 不等式（见附录 III）就可推导出有外力作用时所满足的能量不等式

$$
E(t) \leqslant e^t E(0)+e^t \int_0^t e^{-\tau} F(\tau) d \tau
$$

利用不等式（3．14）就可证明：对于混合问题（3．10），当自由项 $f$ 在某种意义下作＂微小改变＂时，对应的解也是＂微小改变＂的。事实上，这个问题可归结为对定解问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2 \Delta u=f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right), \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \Omega, \quad t>0 \\
\left.u\right|_{t=0}=0,\left.\quad u_t\right|_{t=0}=0, \quad\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right) \in \bar{\Omega} \\
\left.\left(\frac{\partial u}{\partial \nu}+\sigma u\right)\right|_{\Gamma \times[0, \infty)}=0
\end{array}\right.
$$

证明当自由项 $f$＂很小＂时，对应的解也是＂很小＂的．
为此，利用能量不等式（3．12）

$$
E_0(t) \leqslant e^t E_0(0)+e^t \int_0^t e^{-\tau} E(\tau) d \tau
$$

将不等式（3．14）中的 $E(t)$ 代入上式，并注意到此时应有 $E(0)=0, E_0(0)=0$ ，通过对不等式的加强，得到

$$
E_0(t) \leqslant T e^T \int_0^T F(\tau) d \tau=\frac{1}{2} T e^T \int_0^T \int_{\Omega} f^2 d x_1 d x_2 \cdots d x_n d \tau, \quad 0 \leqslant t \leqslant T
$$

这时不难看出，只要 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right)$ 的平方模 $\left(\int_0^T \int_{\Omega} f^2\left(x_1, x_2, \cdots, x_n, t\right) d x_1\right.$ $\left.d x_2 \cdots d x_n d t\right)^{\frac{1}{2}}$ 很小，则对应的解在任何时刻 $t(0 \leqslant t \leqslant T)$ 对变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n$的平方模 $\|u(\cdot, t)\|_{L^2(\Omega)}$ 或对变量 $x_1, x_2, \cdots, x_n, t$ 的平方模 $\left(\int_0^T \int_{\Omega} u^2\left(x_1, x_2, \cdots\right.\right.$ ， $\left.\left.x_n, t\right) d x_1 d x_2 \cdots d x_n d t\right)^{\frac{1}{2}}$ 也很小．这就证明了所要的结论．

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