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Cauchy 问题解的唯一性和稳定性

3．4 Cauchy 问题解的唯一性和稳定性
为了简单起见，我们仅讨论二维空间的情形．考察二维波动方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=f(x, y, t), \quad(x, y) \in R ^2, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad(x, y) \in R ^2 .
\end{array}\right.
$$

我们仍然利用能量积分方法来研究其解的唯一性和稳定性．这时要在整个 $O$－ $x y$ 平面上计算能量积分

$$
E_1(t)=\iint\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d x d y .
$$

一般说来，此积分可能发散．为了解决这一困难，使计算只在某个有限区域 $\Omega$ 上进行，我们需要利用特征的概念．

由于膜振动具有有限的依赖区域，对空间任意一点 $\left(x_0, y_0, t_0\right)$ ，过该点的特征锥面与初始平面 $t=0$ 所围成的锥体为 $K$ ：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant\left(a t_0-a t\right)^2, \quad 0 \leqslant t \leqslant t_0,
$$

于是雉体 $K$ 在 $O-x y$ 平面上的截面 $\Omega_0$ ：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant a^2 t_0^2
$$

就是一个有限域．由决定区域知，解 $u(x, y, t)$ 在 $K$ 中任一点的值均由初值函数 $\varphi$ ， $\psi$ 在圆域 $\Omega_0$ 内的值以及 $f$ 在锥体 $K$ 内的值所完全确定．

当 $t=\tau\left(0 \leqslant \tau \leqslant t_0\right)$ 时，锥体 $K$ 在平面 $t=\tau$ 上的截面为 $\Omega_\tau$ ：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant\left(a t_0-a \tau\right)^2 .
$$

显然，$u(x, y, t)$ 在 $\Omega_\tau$ 内任一点的值都由 $\Omega_0$ 中的初值数据唯一确定（如图 5－15）．
这时 $\varphi$ 和 $\psi$ 在 $\Omega_0$ 外的取值对 $u$ 在 $\Omega_\tau$ 内的值没有任何影响，即在 $\Omega_0$ 外任一点的能量，在时刻 $\tau$ 不会传到 $\Omega_\tau$ ．中．因此薄膜在区域 $\Omega_\tau$ 上的总能量不会超过 $\Omega_0$ 上的总能量，即应有 $E_1\left(\Omega_\tau\right) \leqslant E_1\left(\Omega_0\right)$ ．下面我们用数学方法来证明这一事实。

![图片](/uploads/2025-04/3a3cd9.jpg)
 
 定理 5.10 设 $u(x, y, t)$ 在 $K$ 内满足问题（3．15）中的齐次波动方程，则在 $K$ 内任一截面 $\Omega_t$ 内成立能量不等式

$$
\begin{aligned}
E_1\left(\Omega_t\right) & =\frac{1}{2} \iint_{\Omega_t}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d x d y \\
& \leqslant \frac{1}{2} \iint_{\Omega_0}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d x d y=E_1\left(\Omega_0\right)
\end{aligned}
$$

证 事实上，我们可以证明更强的结论：$E_1\left(\Omega_t\right)$ 在 $K$ 内是 $t$ 的非增函数，即

$$
\frac{d E_1\left(\Omega_t\right)}{d t} \leqslant 0
$$

为此我们利用含参变量积分对参数的求导公式，得

$$
\begin{aligned}
\frac{d E_1\left(\Omega_t\right)}{d t} & =\frac{1}{2} \frac{d}{d t} \int_0^{a t_0-a t} \int_0^{2 \pi r}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d s d r \\
& =\frac{1}{2} \int_0^{a t_0-a t} \int_0^{2 \pi r} \frac{d}{d t}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d s d r-\frac{a}{2} \int_{\Gamma_t}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d s
\end{aligned}
$$

其中 $r=\sqrt{\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2}, \quad \Gamma_t$ 为区域 $\Omega_t$ 的边界， $d s$ 表示圆弧的弧微分 $r d \theta$ ．再由 Green 公式，可将上式写成

$$
\begin{aligned}
\frac{d E_1\left(\Omega_t\right)}{d t}= & \int_0^{a t_0-a t} \int_0^{2 \pi r} u_t\left(u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)\right) d s d r+ \\
& \int_{\Gamma_t}\left\{a^2 u_t \frac{\partial u}{\partial \nu}-\frac{a}{2}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right)\right\} d s
\end{aligned}
$$

上式右端的第一项等于零，而第二项的被积函数可写成

$$
\begin{aligned}
& a^2\left(u_t u_x \cos (\nu, x)+u_t u_y \cos (\nu, y)\right)-\frac{a}{2}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) \\
= & -\frac{a}{2}\left\{\left(a u_x-u_t \cos (\nu, x)\right)^2+\left(a u_y-u_t \cos (\nu, y)\right)^2\right\} \leqslant 0,
\end{aligned}
$$

因此有

$$
\frac{d E_1\left(\Omega_t\right)}{d t} \leqslant 0
$$

这就证明了不等式（3．20）．
定理证毕。
利用不等式（3．20），我们立即可以得到：
定理 5.11 若 Cauchy 问题（3．15）的解存在，则解唯一。
证 只要证明定解问题

$$
\begin{cases}u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=0, & (x, y) \in R ^2, \quad t>0 \\ \left.u\right|_{t=0}=0,\left.\quad u_t\right|_{t=0}=0, & (x, y) \in R ^2\end{cases}
$$

只有零解就可以了．
由齐次初值条件知 $E_1\left(\Omega_0\right)=0$ ，根据不等式（3．20），对任意的 $t \in\left[0, t_0\right]$ ，有

$$
E_1\left(\Omega_t\right)=0
$$

从而 $u_x=u_y=u_t=0$ ，即 $u \equiv$ 常数．再由初值条件 $\left.u\right|_{t=0}=0$ 及 $u$ 在锥 $K$ 内的连续性，即得

$$
u(x, y, t) \equiv 0 .
$$

定理证毕。
下面我们讨论 Cauchy 问题（3．15）的解对初值数据的连续依赖性．为此，对解 $u(x, y, t)$ 在 $\Omega_t$ 上引入积分

$$
E_0\left(\Omega_t\right)=\frac{1}{2}\|u(\cdot, \cdot, t)\|_{L^2\left(\Omega_t\right)}^2=\frac{1}{2} \iint_{\Omega_t} u^2(x, y, t) d x d y .
$$

关于 $t$ 求导，利用 Cauchy 不等式，得

$$
\begin{aligned}
\frac{d E_0\left(\Omega_t\right)}{d t} & =\iint_{\Omega_t} u u_t d x d y-\frac{a}{2} \int_{\Gamma_t} u^2 d s \\
& \leqslant \frac{1}{2} \iint_{\Omega_t} u^2 d x d y+\frac{1}{2} \iint_{\Omega_t} u_t^2 d x d y \\
& \leqslant E_0\left(\Omega_t\right)+E_1\left(\Omega_t\right)
\end{aligned}
$$

再次应用 Gronwall 不等式（见附录 III），得到能量不等式

$$
E_0\left(\Omega_t\right) \leqslant E_0\left(\Omega_0\right) e^t+e^t \int_0^t e^{-\tau} E_1\left(\Omega_\tau\right) d \tau .
$$

再利用不等式（3．20），便得

$$
E_0\left(\Omega_t\right) \leqslant e^t E_0\left(\Omega_0\right)+E_1\left(\Omega_0\right)\left(e^t-1\right) .
$$

（3．23）式两端关于 $t$ 从 0 到 $t_0$ 积分，在锥体 $K$ 内有

$$
\iiint_K u^2 d x d y d t=2 \int_0^{t_0} E_0\left(\Omega_t\right) d t \leqslant c_1 E_0\left(\Omega_0\right)+c_2 E_1\left(\Omega_0\right),
$$

其中 $c_1, c_2$ 是仅与 $t_0$ 有关的两个常数．
由此即得
定理 5．12 Cauchy 问题（3．15）的解，在下述意义下对初值数据是稳定的：对任意正数 $\varepsilon$ ，存在正数 $\delta$ ，在锥体 $K$ 的底面 $\Omega_0$ 上，只要有

$$
\begin{aligned}
\left\|\varphi_1(\cdot, \cdot)-\varphi_2(\cdot, \cdot)\right\|_{L^2\left(\Omega_0\right)}<\delta, & \left\|\psi_1(\cdot, \cdot)-\psi_2(\cdot, \cdot)\right\|_{L^2\left(\Omega_0\right)}<\delta, \\
\left\|\varphi_{1 x}(\cdot, \cdot)-\varphi_{2 x}(\cdot, \cdot)\right\|_{L^2\left(\Omega_0\right)}<\delta, & \left\|\varphi_{1 y}(\cdot, \cdot)-\varphi_{2 y}(\cdot, \cdot)\right\|_{L^2\left(\Omega_0\right)}<\delta,
\end{aligned}
$$

则在 $K$ 内以 $\varphi_1, \psi_1$ 为初值的解 $u_1$ 与以 $\varphi_2, \psi_2$ 为初值的解 $u_2$ 之差，满足

$$
\left\|u_1(\cdot, \cdot, \cdot)-u_2(\cdot, \cdot, \cdot)\right\|_{L^2(K)}<\varepsilon,
$$

其中 $\|u(\cdot, \cdot, \cdot)\|_{L^2(K)}=\left(\iiint_K u^2(x, y, t) d x d y d t\right)^{\frac{1}{2}}$ 表示 $u$ 在 $K$ 上的平方模．
有关解对方程的自由项 $f(x, y, t)$ 的连续依赖性之论证，可仿照本节第三部分的讨论导出．

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