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Cauchy 问题解的唯一性和稳定性

3．4 Cauchy 问题解的唯一性和稳定性
为了简单起见，我们仅讨论二维空间的情形．考察二维波动方程的 Cauchy 问题

$$
\left\{\begin{array}{l}
u_{t t}-a^2\left(u_{x x}+u_{y y}\right)=f(x, y, t), \quad(x, y) \in R ^2, \quad t>0, \\
\left.u\right|_{t=0}=\varphi(x, y),\left.\quad u_t\right|_{t=0}=\psi(x, y), \quad(x, y) \in R ^2 .
\end{array}\right.
$$

我们仍然利用能量积分方法来研究其解的唯一性和稳定性．这时要在整个 $O$－ $x y$ 平面上计算能量积分

$$
E_1(t)=\iint\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d x d y .
$$

一般说来，此积分可能发散．为了解决这一困难，使计算只在某个有限区域 $\Omega$ 上进行，我们需要利用特征的概念．

由于膜振动具有有限的依赖区域，对空间任意一点 $\left(x_0, y_0, t_0\right)$ ，过该点的特征锥面与初始平面 $t=0$ 所围成的锥体为 $K$ ：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant\left(a t_0-a t\right)^2, \quad 0 \leqslant t \leqslant t_0,
$$

于是雉体 $K$ 在 $O-x y$ 平面上的截面 $\Omega_0$ ：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant a^2 t_0^2
$$

就是一个有限域．由决定区域知，解 $u(x, y, t)$ 在 $K$ 中任一点的值均由初值函数 $\varphi$ ， $\psi$ 在圆域 $\Omega_0$ 内的值以及 $f$ 在锥体 $K$ 内的值所完全确定．

当 $t=\tau\left(0 \leqslant \tau \leqslant t_0\right)$ 时，锥体 $K$ 在平面 $t=\tau$ 上的截面为 $\Omega_\tau$ ：

$$
\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2 \leqslant\left(a t_0-a \tau\right)^2 .
$$

显然，$u(x, y, t)$ 在 $\Omega_\tau$ 内任一点的值都由 $\Omega_0$ 中的初值数据唯一确定（如图 5－15）．
这时 $\varphi$ 和 $\psi$ 在 $\Omega_0$ 外的取值对 $u$ 在 $\Omega_\tau$ 内的值没有任何影响，即在 $\Omega_0$ 外任一点的能量，在时刻 $\tau$ 不会传到 $\Omega_\tau$ ．中．因此薄膜在区域 $\Omega_\tau$ 上的总能量不会超过 $\Omega_0$ 上的总能量，即应有 $E_1\left(\Omega_\tau\right) \leqslant E_1\left(\Omega_0\right)$ ．下面我们用数学方法来证明这一事实。

![图片](/uploads/2025-04/3a3cd9.jpg)
 
 定理 5.10 设 $u(x, y, t)$ 在 $K$ 内满足问题（3．15）中的齐次波动方程，则在 $K$ 内任一截面 $\Omega_t$ 内成立能量不等式

$$
\begin{aligned}
E_1\left(\Omega_t\right) & =\frac{1}{2} \iint_{\Omega_t}\left(u_t^2+a^2\left(u_x^2+u_y^2\right)\right) d x d y \\
& \leqslant \frac{1

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