最后更新: 2025-05-11 18:33 查看: 2 次反馈刷题

曲线积分基本定理

##  曲线积分的基本定理
若曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 在区域 $G$ 内与积分路径无关，则称向量场 $F$ 为**保守场**．
下面的定理给出了平面曲线积分与路径无关的另一种形式的条件，并为计算保守场中的曲线积分提供了一种简便的方法．

**曲线积分的基本定理** 设 $F (x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j$ 是平面区域 $G$ 内的一个向量场，若 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 都在 $G$ 内连续，且存在一个数量函数 $f(x, y)$ ，使得 $F=\nabla f$ ，则曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 在 $G$ 内与路径无关，且

$$
\boxed{
\int_L F \cdot d r =f(B)-f(A)
}
$$

其中 $L$ 是位于 $G$ 内起点为 $A$ ，终点为 $B$ 的任一分段光滑曲线．

证 设 $L$ 的向量方程为

$$
r=\varphi(t) i+\psi(t) j, \quad t \in[\alpha, \beta],
$$

起点 $A$ 对应参数 $t=\alpha$ ，终点 $B$ 对应参数 $t=\beta$ ．
由假设，$f_x=P, f_y=Q, P, Q$ 连续，从而 $f$ 可微，且

$$
 
\frac{d f}{d t}=f_x \frac{d x}{d t}+f_y \frac{d y}{d t}=\nabla f \cdot\left(\frac{d x}{d t} i+\frac{d y}{d t} j\right)=F \cdot \frac{d r}{d t}
 
$$

于是

$$
\int_L F \cdot d r =\int_\alpha^\beta F \cdot \frac{d r }{d t} d t=\int_\alpha^\beta \frac{d f}{d t} d t=\left.f[\varphi(t), \psi(t)]\right|_\alpha ^\beta=f(B)-f(A), ...(3.9)
$$

证毕．

> 这个定理表明，对于势场 $F$ ，曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 的值仅依赖于它的势函数 $f$ 在路径 $L$ 的两端点的值，而不依赖于两点间的路径，即积分 $\int_L F \cdot d r$ 在 $G$ 内与路径无关．也就是说：势场是保守场．

上面公式是与微积分基本公式

$$
\int_a^b f(x) d x=F(b)-F(a)
$$

（其中 $\left.F^{\prime}(x)=f(x)\right)$ 完全类似的向量微积分的相应公式，称为曲线积分的基本公式．
下图显示定积分公式和曲线积分公式的对比
 ![图片](/uploads/2025-01/4a28d5.jpg)

有了上面这个结论，最经典的，一个小球从A下落到B，不论是自由落体下落，还是沿着斜面下落，或者沿着曲面下落，中间怎么走的不重要，重力做功的大小只与A,B的起始位置有关，这样计算小球的速度就非常简单了，详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=432)

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