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高等数学
第七章 多元函数积分学
曲线积分基本定理
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更新:
2025-05-11 18:33
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曲线积分基本定理
## 曲线积分的基本定理 若曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 在区域 $G$ 内与积分路径无关,则称向量场 $F$ 为**保守场**. 下面的定理给出了平面曲线积分与路径无关的另一种形式的条件,并为计算保守场中的曲线积分提供了一种简便的方法. **曲线积分的基本定理** 设 $F (x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j$ 是平面区域 $G$ 内的一个向量场,若 $P(x, y)$ 与 $Q(x, y)$ 都在 $G$ 内连续,且存在一个数量函数 $f(x, y)$ ,使得 $F=\nabla f$ ,则曲线积分 $\int_L F \cdot d r$ 在 $G$ 内与路径无关,且 $$ \boxed{ \int_L F \cdot d r =f(B)-f(A) } $$ 其中 $L$ 是位于 $G$ 内起点为 $A$ ,终点为 $B$ 的任一分段光滑曲线. 证 设 $L$ 的向量方程为 $$ r=\varphi(t) i+\psi(t) j, \quad t \in[\alpha, \beta], $$ 起点 $A$ 对应参数 $t=\alpha$ ,终点 $B$ 对应参数 $t=\beta$ . 由假设,$f_x=P, f_y=Q, P, Q$ 连续,从而 $f$ 可微,且 $$ \frac{d f}{d t}=f_x \frac{d x}{d t}+f_y \frac{d y}{d t}=\nabla f \cdot\left(\frac{d x}{d t} i+\frac{d y}{d t} j\right)=F \cdot \frac{d r}{d t} $$ 于是 $$ \int_L F \cdot d r =\int_\a
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