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第一类曲面积分(对面积的曲面积分)

## 对面积的曲面积分（第一类曲面积分）应用背景
 
设有一曲面状构件 $\Sigma$ ，其面积为 $S$ ，面密度为连续函数 $\rho=\rho(x, y, z)$ ， $(x, y, z) \in \Sigma$. 若 $\rho$ 是常数 (均匀质体)，则 $M=\rho S$ ；

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若 $\rho=\rho(x, y, z)$ (非均匀质体)，则 可将曲面 $\Sigma$ 任意地分成 $n$ 个小曲面 $\Delta S_i(i=1,2, \cdots, n) ， \Delta S_i$ 也为该曲面的面积， $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ ，任取 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \in \Delta S_i ， \Delta S_i$ 的质量为 $\Delta m_i \approx \rho\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i$ ， $(i=1,2, \cdots, n)$ 从而曲面状构件的质量为

$$
m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i,
$$

当分点无限加密即 $\lambda \rightarrow 0$ 时，此和式极限就是该曲面状构件的质量，即

$$
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta s_i .
$$

由此就得到第一类曲面积分的定义.

> 物理背景：第一类曲面积分是求不均匀的曲面的质量。

##  对曲面积分的定义
**定义** 设曲面 $S$ 光滑，$f(x, y, z)$ 是定义在 $S$ 上的有界函数，将 $S$ 任意分为 $n$ 个小块 $\Delta S_1, \Delta S_2, \cdots, \Delta S_n$（其面积也用相同符号表示），在每个小块 $\Delta S_i$上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，若不管 $S$ 如何分割及 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ 如何选取，极限 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i$（其中 $\lambda=\max _{1 \leqslant i \leqslant n}\left\{\Delta S_i\right.$ 的直径 $\}$ ）总存在且唯一，则称该极限为 $f(x, y, z)$ 在曲面 $S$ 上对面积的曲面积分（也称为第一类曲面积分），记为 $\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，即

$$
\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n f\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right) \Delta S_i
$$

其中 $f(x, y, z)$ 称为**被积函数**，$S$ 称为**积分曲面**， $\mathrm{d} S$ 称为**面积元素**．

> 注 曲面 $S$ 光滑是直观说法，即这种曲面要求每点都有切平面且随切点连续变动切平面也连续变动，这等价于法向量连续变动，如设曲面 $S$ 的方程为 $z=z(x, y)$ ，则法向量为 $\left(-z_x(x, y),-z_y(x, y), 1\right)$ ，法向量连续变动相当于函数 $z_x(x, y), z_y(x, y)$ 连续．

由此定义，上述曲面的质量为

$$
M=\iint_S \mu(x, y, z) \mathrm{d} S
$$

关于第一类曲面积分的存在性，有结论：

若 $f(x, y, z)$ 在光滑曲面 $S$ 上连续，则 $\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S$ 存在．
 
### 第一类曲面积分有与定积分类似的性质 
（1）线性性 对任意实数 $\alpha, \beta$ ，有

$$
\iint_S[\alpha f(x, y, z)+\beta g(x, y, z)] \mathrm{d} S=\alpha \iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S+\beta \iint_S g(x, y, z) \mathrm{d} S .
$$

（2）积分区域可加性 设 $S=S_1 \cup S_2$ ，其中曲面 $S_1, S_2$ 至多在边界相交，则有

$$
\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=\iint_{S_1} f(x, y, z) \mathrm{d} S+\iint_{S_2} f(x, y, z) \mathrm{d} S
$$

（3）单调性设 $f(x, y, z) \leqslant g(x, y, z)$ ，则 $\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S \leqslant \iint_S g(x, y, z) \mathrm{d} S$ ．
（4）积分中值定理 设 $f(x, y, z)$ 在 $S$ 上连续，则 $\exists(\xi, \eta, \zeta) \in S$ ，使得下式成立：

$$
\iint_S f(x, y, z) \mathrm{d} S=f(\xi, \eta, \zeta) A,
$$

其中 $A$ 表示曲面 $S$ 的面积．

## 对面积的曲面积分的计算
 
**推理**：设 $S$ 为光滑曲面，其方程为 $z=f(x, y),(x, y) \in D$ ，则其面积
$$
S=\iint_D \sqrt{1+f_x^2+f_y^2} d \sigma
$$

证明：如下图
  ![图片](/uploads/2025-05/cacc8e.jpg){WIDTH=400PX}
 
 将 $S$ 任意分为 $n$ 小块 $\Delta S_i(i=1$ ， $2, \cdots, n)$ ，如图，在每一小块 $\Delta S_i$上任取一点 $\left(\xi_i, \eta_i, \zeta_i\right)$ ，作该点的切平面 $T_i$ ，在切平面 $T_i$ 上与 $\Delta S_i$ 对应取一小块切平面 $\Delta T_i

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【数学分析】第一类曲面积分的物理意义与定义

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