最后更新: 2025-05-06 06:48 查看: 438 次反馈同步训练

两类曲线积分的关系

## 预备知识：方向角余弦与弧微分公式
设 $\boldsymbol{a}$ 为任意一个向量，又设 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 为与三坐标轴正向之间的夹角 如下图所示， $\alpha ， \beta ， \gamma$ 分别为向量 $\boldsymbol{a}$ 的方向角，称为向量的方向角，  而 $\cos \alpha 、 \cos \beta 、 \cos \gamma$ 称为向量 $\boldsymbol{a}$ 的**方向角余弦**，具体推导请参加 [方向角余弦](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=353)

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假设$a$坐标为$(x,y,z)$, 可知向量 $a$ 的三个向量角余弦分别是

$\cos \alpha=\frac{a_x}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$
$\cos \beta=\frac{a_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$
$\cos \gamma=\frac{a_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}}$,

所以，任给一个向量，都可以求出他的方向角余弦，反之，任给一个向量角余弦都可以确定一个向量。

#### 弧长公式
 在弧长公式里，曾经给出了如下一个公式弧微分公式为

$$ 
\boxed{
\mathrm{d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x  
}
$$

若曲线由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}\right.$ ，给出，则有

$$ \boxed{\mathrm{d} s=\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t } 
$$

具体推导请参加 [弧微分公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=313)

#### 参数方程
> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

这说明给出空间一条曲线，可以使用参数方程表示。

#### 曲线的切线方向
在高中物理课的圆周运动里，**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是$f$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_x=f'_y, v_x=f'_z$
这三个速度分量写成 $(f'_x,f'_y,f'_z)$ 就代表曲线的切线向量。
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#### 弧长
现在考虑空间一个质点的运动，在$\Delta t$ 时间内，从 $r$ 运动到 $r + \Delta r $ ，当时间极短时，距离的改变量 $\vec{dr}$ 近似等于弧长$ds$ 
 ![图片](/uploads/2025-01/f9e156.jpg){width=300px}
 
 即
 
 $|d \vec{r}|=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}=ds$
 
## 两类曲线积分的联系与区别

#### 意义
第一类积分：沿曲线累积标量量（如密度、温度），与方向无关
第二类积分：沿曲线累积向量场的投影（如力在运动方向的分量），与方向相关

第一类积分像“用尺子量路的总长度”，第二类积分像“用弹簧秤测每段路的拉力方向”，最终结果取决于拉力的方向和路径形状

#### 公式上的联系
  
通过方向余弦（切向量的投影），第二类积分可转化为第一类积分：

在平面 
   $$  
   \int_L P\,dx + Q\,dy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)\,ds  
   $$  
  
  在空间有

\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s

#### 参数化
两类积分均可通过参数方程转化为定积分。例如：  
 • 第一类积分：$\int_L f(x,y)\,ds = \int_a^b f(x(t),y(t))\sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}\,dt$

• 第二类积分：$\int_L P\,dx + Q\,dy = \int_a^b [P x'(t) + Q y'(t)]\,dt$

关键区别：第一类积分的弧长元素 $ds$ 包含方向无关的根号项，而第二类积分直接使用坐标微分 $dx, dy$，隐含方向信息。

## 数学推导

当曲线 $L$ 用参数方程

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(t), \\
y=y(t), \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta \\
z=z(t),
\end{array}\right.
$$

表出时，$\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right)$ 是曲线的切向量，因而

$$
d r =(d x, d y, d z)=\left(x^{\prime}(t), y^{\prime}(t), z^{\prime}(t)\right) d t
$$

也是切向量，且其方向与积分路径的方向一致．又 $d r$ 的模正好是弧微分，即

$$
|d r |=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}=d s .
$$

设 $d r$ 的方向余弦为 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ，则有

$$
(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)=\frac{d r }{|d r |}=\left(\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}\right) .
$$

由此得

$$
d x=\cos \alpha d s, \quad d y=\cos \beta d s, \quad d z=\cos \gamma d s .
$$

因而

$$
\int_{\widehat{A B}} P d x+Q d y+R d z=\int_{\hat{A B}}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) d s,
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为曲线 $\overparen{A B}$ 上各点的切线（且其方向与积分方向一致）的方向余弦。

上式刻画了两类曲线积分的关系．需要注意的是，式中 $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$与曲线的方向有关。当曲线的方向改变时， $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 都要改变符号．

对于平面曲线，上述公式变成下列形式：

$$
\int_{\hat{A B}} P d x+Q d y=\int_{\hat{A B}}(P \cos \alpha+Q \cos \beta) d s,
$$

其中 $\cos \alpha, \cos \beta$ 是曲线 $\overparen{A B}$ 上各点处与 $\overparen{A B}$ 同方向的切线的方向余弦．

## 上述公式的简单物理解释

注意：这里的解释仅做简单的理解，不追求严谨性，也更不作为严格的推导。

**物理意义功的理解**
第二类曲线积分可以用来计算变力沿曲线所做的功，设一个质点在变

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