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两类曲线积分的关系

## 两类曲线积分的联系与区别

平面曲线弧 $L$ 上的两类曲线积分之间有如下联系：

$$
\boxed{
\int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s
}
$$

其中 $\alpha(x, y)$ 与 $\beta(x, y)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y)$ 处的切向量的方向角．
类似地可知，空间曲线弧 $\Gamma$ 上的两类曲线积分之间有如下联系：

$$
\boxed{
\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s
}
$$

其中 $\alpha(x, y, z), \beta(x, y, z), \gamma(x, y, z)$ 为有向曲线弧 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的切向量的方向角．

两类曲线积分之间的联系也可用向量的形式表达．例如，空间曲线弧 $\Gamma$ 上的两类曲线积分之间的联系可写成如下形式：

$$
\boxed{
\int_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{\tau} \mathrm{d} s
}
$$

或

$$
\boxed{
\int_{\Gamma} \boldsymbol{A} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_{\Gamma} A_\tau \mathrm{d} s
}
$$

其中 $\boldsymbol{A}=(P, Q, R), \tau=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为有向曲线弧 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位切向量， $\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\boldsymbol{\tau} \mathrm{d} s=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$ ，称为有向曲线元，$A_\tau$ 为向量 $\boldsymbol{A}$ 在向量 $\boldsymbol{\tau}$ 上的投影．

证明：略
 
## 两类曲线积分的联系的物理解释
 
注意：这里的解释仅做简单的理解，不追求严谨性，也更不作为严格的推导。

> **一句话总结就是：做功的计算可以沿着坐标轴进行分解计算，也可以投影到运动路径切线方向进行计算。**
 
第二类曲线积分可以用来计算变力沿曲线所做的功，设一个质点在变力 $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}

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【数学分析】两类曲线积分的联系

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