最后更新: 2025-04-09 08:03 查看: 372 次反馈刷题

两类曲线积分的关系

两类曲线积分之间存在着密切的联系，下面将从定义、联系公式以及相关解释几个方面来介绍它们的关系。

### 两类曲线积分的定义
• **第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）**
设 $L$ 为平面上可求长度的曲线弧，$f(x,y)$ 是定义在 $L$ 上的有界函数。将 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i$（$i = 1,2,\cdots,n$），在每个小弧段 $\Delta s_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和 $\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$。如果当各小弧段长度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，此和式的极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y)$ 在曲线弧 $L$ 上对弧长的曲线积分，记作 $\int_{L}f(x,y)ds$。
• **第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）**
设 $L$ 为平面上从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑曲线弧，$\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j}$ 是定义在 $L$ 上的向量值函数。将 $L$ 任意分成 $n$ 个有向小弧段 $\Delta\vec{r}_i=\Delta x_i\vec{i}+\Delta y_i\vec{j}$（$i = 1,2,\cdots,n$），在每个小弧段 $\Delta\vec{r}_i$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和 $\sum_{i = 1}^{n}[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i + Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]$。如果当各小弧段长度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，此和式的极限存在，则称此极限为向量值函数 $\vec{F}(x,y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标的曲线积分，记作 $\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy$。

## 两类曲线积分的联系公式
设 $L$ 为平面上的分段光滑曲线，$L$ 的参数方程为 $\begin{cases}x = \varphi(t)\\y=\psi(t)\end{cases}$，当参数 $t$ 单调地由 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $M(x,y)$ 从 $L$ 的起点 $A$ 沿 $L$ 运动到终点 $B$，$\varphi(t)$，$\psi(t)$ 在以 $\alpha$ 及 $\beta$ 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 $\varphi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)\neq0$，函数 $f(x,y)$，$P(x,y)$，$Q(x,y)$ 在 $L$ 上连续，则有：
 • $\int_{L}f(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f[\varphi(t),\psi(t)]\sqrt{\varphi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)}dt$
 • $\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy=\int_{\alpha}^{\beta}\{P[\varphi(t),\psi(t)]\varphi'(t)+Q[\varphi(t),\psi(t)]\psi'(t)\}dt$
 • 它们之间满足 $\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy=\int_{L}[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]ds$，其中 $\cos\alpha$ 和 $\cos\beta$ 是曲线 $L$ 上点 $(x,y)$ 处的切向量的方向余弦。

### 公式解释
• **物理意义层面**
    ◦ 第一类曲线积分可以用来计算曲线形构件的质量等问题，例如已知曲线 $L$ 上各点的线密度为 $f(x,y)$，则曲线 $L$ 的质量 $M = \int_{L}f(x,y)ds$。
    ◦ 第二类曲线积分可以用来计算变力沿曲线所做的功，设一个质点在变力 $\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$ 的作用下，沿有向曲线 $L$ 从点 $A$ 移动到点 $B$，则变力 $\vec{F}$ 所做的功 $W=\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy$。联系公式实际上是**将力在曲线切线方向上进行分解后累加的过程，当变力做功时，可以把力分解为沿速度的切线力，和垂直切线的法线力，而法线力并不做功，因此，只要计算切线力做功即可** 。 他体现了做功与曲线弧长元素上力的分量之间的关系。

![图片](/uploads/2025-04/dcfef5.jpg)
  
 ### 对于做功的不同解释
 参考通量一节，想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$, 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
  ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。做功也一样，$F r \cosa$ 可以理解为 $(F\cosa r) $ 或  $F (r\cosa)  $
  
   
 • **数学推导层面**
    ◦ 从两类曲线积分的定义出发，通过对曲线进行参数化，将曲线积分转化为定积分来计算。在推导过程中，利用了弧长元素 $ds$ 与参数 $t$ 的关系 $ds = \sqrt{\varphi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)}dt$ 以及坐标增量 $dx=\varphi'(t)dt$，$dy = \psi'(t)dt$。而联系公式中的 $\cos\alpha=\frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)}}$，$\cos\beta=\frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'^{2}(t)+\psi'^{2}(t)}}$，代入 $\int_{L}[P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta]ds$ 经过化简就可以得到 $\int_{L}P(x,y)dx + Q(x,y)dy$ 的形式。
    
## 两类曲线积分的关系

虽然上面讨论的两类积分有着不同的背景及不同的特征，但在一定的条件下 他们之间是有联系的. 现在我们来揭示平面情形中这两类曲线积分之间的联系.
设平面有向曲线弧 $L=A B:\left\{\begin{array}{l}x=\varphi(t) \\ y=\psi(t)\end{array}, t: \alpha \rightarrow \beta\right.$, 其中 $\alpha$ 对应起点 $A ， \beta$ 对 应起点 $B$ ，不妨设 $\alpha<\beta$ （若 $\alpha>\beta$ ，可令 $s=-t ， A 、 B$ 对应 $s=-\alpha ， s=-\beta$ ， 就有 $(-\alpha)<(-\beta)$ ， 将下面的讨论对 $s$ 进行即可)， 并设 $\varphi(t) 、 \psi(t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具 有一阶连续导数，且 $\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t) \neq 0 ， P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $L$ 上连续，
则 $\int_L P(x, y)+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t ；$
已知 $\tau=\left(\varphi^{\prime}(t), \psi^{\prime}(t)\right)$ 是曲线弧 $L$ 在点 $M(\varphi(t), \psi(t))$ 处的一个切向量，它的 指向与参数 $t$ 的增长方向一致，当 $\alpha<\beta$ 时，这个指向就是有向曲线弧 $L=A B$ 的 方向，以后，我们称这种指向与有向曲线弧的方向一致的切向量为有向曲线弧的 切向量.
于是，有向曲线弧 $L=A B$ 的切向量为 $\tau=\left(\varphi^{\prime}(t), \psi^{\prime}(t)\right)$ ，
其方向余弦为

$$
\cos \alpha=\frac{\varphi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}, \quad \cos \beta=\frac{\psi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}
$$

对弧长的曲线积分为

$$
\begin{aligned}
& \int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s \\
= & \int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}+Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi^{\prime}(t)}{\sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)}}\right] \sqrt{\varphi^{\prime 2}(t)+\psi^{\prime 2}(t)} \mathrm{d} t \\
= & \int_\alpha^\beta\left[P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi^{\prime}(t)+Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi^{\prime}(t)\right] \mathrm{d} t,
\end{aligned}
$$

故 $\quad \int_L P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_L(P \cos \alpha+Q \cos \beta) \mathrm{d} s$ ，
其中 $\alpha(x, y) 、 \beta(x, y)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y)$ 处的切向量的方向角.
两类曲线积分的关系也可用向量的形势表达，比如空间的情形可写成:

$$
\int_L A \cdot \mathrm{d} r=\int_L A \cdot \tau \mathrm{d} s \text { ，或 } \int_L A \cdot \mathrm{d} r=\int_L A_\tau \mathrm{d} s \text { ， }
$$

其中 $\boldsymbol{A}=(P, Q, R) ， \tau=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位 切向量， $\mathrm{d} r=\tau \mathrm{d} s=(\mathrm{d} x, \mathrm{~d} y, \mathrm{~d} z)$ 称为有向曲线元. $A_r$ 为向量 $A$ 在向量 $\tau$ 上的投影.
类似地，在空间有

$$
\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}(P \cos \alpha+Q \cos \beta+R \cos \gamma) \mathrm{d} s \text { ， }
$$

其中 $\alpha(x, y, z) 、 \beta(x, y, z) 、 \gamma(x, y, z)$ 为空间有向曲线弧 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的切向量 的方向角.
例 15 设 $L$ 为从点 $(0,0)$ 沿曲线 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 到 $(1,1)$ 的曲线弧，化第二类曲 线积分 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y$ 为第一类曲线积分.
解 $L: x^2+y^2=2 x$ ，两边关于 $x$ 求导： $2 x+2 y y^{\prime}=2$ ， 即

$$
y^{\prime}=\frac{1-x}{y}, \quad \mathrm{~d} s=\sqrt{1+y^{\prime 2}} \mathrm{~d} x=\sqrt{1+\left(\frac{1-x}{y}\right)^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{y} \mathrm{~d} x
$$

故 $\cos \alpha=\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} s}=y=\sqrt{2 x-x^2} ， \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^2 \alpha}=\sqrt{1-y^2}=1-x$ ，因此
因此 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_L\left[P(x, y) \sqrt{2 x-x^2}+Q(x, y)(1-x)\right] \mathrm{d} s$.

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