最后更新: 2025-10-04 15:55 查看: 1001 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第二类曲线积分计算举例

## 例题

`例`计算 $\int_L x y \mathrm{~d} x$, 其中 $L$ 为曲线 $y^2=x$ 上从 $A(1,-1)$ 到 $B(1,1)$ 的一段弧.
解法一 把曲线积分化为对 $x$ 的定积分来计算，由 $y^2=x$ 可知， $y=\pm \sqrt{x}$.
为此要把 $L$ 分为有向弧 $A O$ 与 $\Theta B$ 两部分 (见图 7-54).

![图片](/uploads/2023-01/image_2023010121d8777.png){width=400px}

为此要把 $L$ 分为有向弧 $A O$ 与 $O B$ 两部分 (见图 7-54).
$A O$ 的方程为 $y=-\sqrt{x}$ ，当 $x$ 由 1 变为 0 时，相应的点沿 $A O$ 从 $A$ 运动到点 $O$ ； $O B$ 的方程为 $y=\sqrt{x}$ ，当 $x$ 由 0 变为 1 时，相应的点沿 $O B$ 从 $O$ 运动到点 $B$
于是 $\int_L x y \mathrm{~d} x=\int_{\bar{AO}} x y \mathrm{~d} x+\int_{\overline{OB}} x y \mathrm{~d} x=\int_1^0 x(-\sqrt{x}) \mathrm{d} x+\int_0^1 x \sqrt{x} \mathrm{~d} x$
$=2 \int_0^1 x^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} x=\frac{4}{5}$
解法二 将曲线积分化为对 $y$ 的定积分来计算， $I$ 的方程为 $x=y^2$, 当 $y$ 从 $-1$ 变到 1 时，相应的点沿 $L$ 从起点 $A$ 运动到终点 $B$.
于是

$$
\int_L x y \mathrm{~d} x=\int_{-\bar{E}} x y \mathrm{~d} x=\int_{-1}^1 y^2 y\left(y^2\right)^{\prime} \mathrm{d} y=2 \int_{-1}^1 y^4 \mathrm{~d} y=\frac{4}{5} \text {. }
$$

显然，解法二较为简单.

`例`计算曲线积分 $\int_L(2 a-y) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y$ ，其中 $L$ 为摆线

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a(t-\sin t), \\
y=a(1-\cos t)
\end{array}(0 \leq t \leq 2 \pi)\right.
$$

的一拱，其中 $O$ 为起点， $A$ 为终点 (见图 7-55).
![图片](/uploads/2023-01/image_202301019602290.png)

解 将曲线积分转化为关于参数 $t$ 的定积分来计算.

$$
\begin{aligned}
\int_L(2 a-y) \mathrm{d} x+x \mathrm{~d} y & =\int_0^{2 \pi}\{[2 a-a(1-\cos t)] a(1-\cos t)+a(t-\sin t) a \sin t\} \mathrm{d} t \\
& =\int_0^{2 \pi} a^2 t \sin t \mathrm{~d} t=-\left.a^2(t \cos t-\sin t)\right|_0 ^{2 \pi}=-2 \pi a^2 .
\end{aligned}
$$

`例` 计算曲线积分 $\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y$ ，其中 $L=A B$ 分别为 (图 7-56)
(1) 从点 $A(1,0)$ 沿直线到 $B(0,1)$ ；
(2) 从点 $A(1,0)$ 沿圆周 $x=\cos t, y=\sin t\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 到 $B(0,1)$ ；
(3) 从点 $A(1,0)$ 沿 $x$ 轴到 $O(0,0)$ 再沿 $y$ 轴到 $B(0,1)$.
![图片](/uploads/2023-01/image_20230101a2d28ef.png)

解 (1) 直线 $L$ 的方程为 $x+y=1$ ，即 $y=1-x$ ，当自变量 $x$ 由 1 变为 0 时， 相应的点沿直线 $\overrightarrow{A B}$ 从 $A$ 运动到点 $B$ ，于是

$$
\begin{aligned}
\int_L x y \mathrm{~d} x+y^2 \mathrm{~d} y & =\int_1^0 x(1-x) \mathrm{d} x+(1-x)^2(-\mathrm{d} x)=\int_1^0\left(3 x-2 x^2-1\right) \mathrm{d} x \\
& =\left[\frac{3}{2} x^2-\frac{2}{3} x^

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【数学分析】第二类曲线积分例题

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