最后更新: 2025-10-25 07:12 查看: 606 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

第二类曲线积分(对坐标积分)

## 第二类曲线积分第一定义（对坐标的曲线积分）

**定义1** 设 $L$ 为 $x O y$ 平面上从点 $A$ 到点 $B$ 的一条有向光滑(或分段光滑)的曲线弧，函数 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在 $L$ 上有界，在 $L$ 上沿 $L$ 的方向任意取点 $M_1\left(x_1, y_1\right) 、 M_2\left(x_2, y_2\right) \ldots$ ， $M_{n-1}\left(x_{n-1,1} y_{n-1}\right)$ 将 $L$ 分成 $n$ 段小弧，记 $\Delta s_i=M_{i-1} M_i ， \Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1}$ $\left(i=1,2, \cdots, n, M_0\left(x_0, y_0\right)=A, M_n\left(x_n, y_n\right)=B\right) ， \Delta s_i$ 也为该段的弧长. $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ， 任取 $\left(\xi_i, \eta_i\right) \in \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0}=\sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i$ 存在，则称此极限为函数 $P(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上对坐标 $x$ 的曲线积分，记作 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x$;
同理，若 $\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i$ 存在，则称此极限为函数 $Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上 对坐标 $x$ 的曲线积分，记作 $\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y$ ，
即

$$
\begin{aligned}
& \int_L P(x, y) \mathrm{d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n P\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta x_i \\
& \int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n Q\left(\xi_i, \eta_i\right) \Delta y_i
\end{aligned}
$$

其中 $P(x, y) ， Q(x, y)$ 称为被积函数，称 $L$ 为有向曲线弧段或有向积分路径.以上两个积分也称为**第二类曲线积分**.

可以证明，若 $P(x, y) 、 Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上连续，则 $\int_L P(x, y) \mathrm{d} x$ ， $\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y$ 存在，且可记

$$
{
\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+\int_L Q(x, y) \mathrm{d} y=\int_L P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y  
}
$$

## 第二类曲线积分的物理解释
> **相比第一类曲线积分第二类曲线积分也称作对坐标的曲线积分，他的物理意义是质点受变力作用沿平面曲线运动作功问题**。

考虑质点受**变力** $F(x, y)=P(x, y)i+Q(x, y) j$ 作用沿平面曲线 $L=A B$ 运 动作功问题.在物理学中我们都知道，**只有沿着运动方向的力才做功能，垂直运动方向上的力不做功**。

![图片](/uploads/2025-09/628508.jpg){width=300px}

### （1）分割点
（1）先在 $L$ 上沿 $L$ 的方向任意插入一系列点 $M_1\left(x_1, y_1\right)$ 、 $M_2\left(x_2, y_2\right), \cdots 、 M_{n-1}\left(x_{n-1}, y_{n-1}\right)$ ，把 $L$ 分成 $n$ 个**有向小弧段**，如下图所示。

![图片](/uploads/2025-09/38cba0.jpg){width=550px}

因为做功的路径是弯曲曲线，力又是变力，为了方便计算，就把曲线和路径分布验证坐标分解。

### （2）对路径分解
观察第 $i$ 个有向曲线弧 $\overparen{M_{i-1} M_i}$ ， 该有向曲线段可以用小切向量 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}_i$ 来线性近似，根据向量的平行四边形法则，可以把 $\mathrm{d} \boldsymbol{r}_i$ 分解为  $dx \boldsymbol{i}$ 与 $dy \boldsymbol{j}$ 之和， 即

$\mathrm{d} \boldsymbol{r}= \mathrm{d} x_i\boldsymbol{i} +\mathrm{d} y_i \boldsymbol{j} ...①$

![图片](/uploads/2025-09/19d578.jpg){width=550px}

### （3）对变力分解
考虑质点受到到一个变力$\boldsymbol{F}$ , 为了计算他做的功能，我们把力也沿着$i,j$方向分解，即

$ \boldsymbol{F(x,y)}= P(x,y)\boldsymbol{i} + Q(x,y)\boldsymbol{j} ...②$ 
 
 ![图片](/uploads/2025-09/1fa8ae.jpg){width=550px}
 
### （4）计算做功
我们就可以计算$F$沿曲线做的功为：
 
$$
{
W=P(x,y)dx +P(x,y)dy + Q(x,y)dx +Q(x,y)dy
}
$$

接下来重点来了：因为$P(x,y)$垂直$y$方向不做功，$Q(x,y)$垂直$x$方向也不做功，所以，$P(x,y)dy=0,Q(x,y)dx=0$, 所以最终总功为

$$
\boxed{
W=P(x,y)dx+Q(x,y)dy
}
$$

这就是第二类曲线积分的物理意义。

## 第二类曲线积分的第二定义（向量定义）

**定义2** 设 $L$ 为一段有向光滑曲线， $F (x, y)=P(x, y) i+Q(x, y) j$ 为定义在 $L$ 上的有界函数 ， $e _\tau(x, y)$ 为 $L$ 上点 $(x, y)$ 处有向曲线的单位切向量，若 $\int_L F(x, y) \cdot e_\tau(x, y) d s$ 存在，则称该积分为函数 $F(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上的积分，也称为第二类曲线积分，记作 $\int_L F (x, y) \cdot d r$ ，即

$$
\int_L F

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【数学分析】第二类曲线积分

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