最后更新: 2025-05-20 10:07 查看: 48 次反馈同步训练

高考研究：构造函数问题

函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容， 构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题，此类问题难度较大，

（1）出现 $n f(x)+x f^{\prime}(x)$ 形式，构造函数 $F(x)=x^n f(x)$ ；
（2）出现 $x f^{\prime}(x)-n f(x)$ 形式，构造函数 $F(x)=\frac{f(x)}{x^n}$ ．

## 利用 $f(x)$ 与 $x$ 构造
已知函数 $f(x)$ 在 $R$ 上满足 $f(x)=f(-x)$ ，且当 $x \in(-\infty, 0]$时，$f(x)+x f^{\prime}(x)<0$ 成立，若 $a=2^{0.6} \cdot f\left(2^{0.6}\right), ~ b=\ln 2 \cdot f(\ln 2), ~ c=\log _2 \frac{1}{8} \cdot f\left(\log _2 \frac{1}{8}\right)$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系是
A．$a>b>c$
B．$c>b>a$
C．$a>c>b$
D．$c>a>b$

解： 因为函数 $f(x)$ 在 $R$ 上满足 $f(x)=f(-x)$ ，所以函数 $f(x)$ 是偶函数，令 $g(x)=x f(x)$ ，则 $g(x)$ 是奇函数，$g^{\prime}(x)=f(x)+x \cdot f^{\prime}(x)$ ，由题意知，当 $x \in(-\infty, 0]$ 时，$f(x)+x f^{\prime}(x)<0$ 成立，所以 $g(x)$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调递减，
又 $g(x)$ 是奇函数，所以 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递减，
因为 $2^{0.6}>1,0<\ln 2<1, \log _2 \frac{1}{8}=-3<0$ ，
所以 $\log _2 \frac{1}{8}<0<\ln 2<1<2^{0.6}$ ，
又 $a=g\left(2^{0.6}\right), b=g(\ln 2), c=g\left(\log _2 \frac{1}{8}\right)$ ，所以 $c>b>a$ ． 选D

## 利用 $f(x)$ 与 $e ^{-1}$ 构造

（1）出现 $f^{\prime}(x)+n f(x)$ 形式，构造函数 $F(x)= e ^{n x} f(x)$ ；
（2）出现 $f^{\prime}(x)-n f(x)$ 形式，构造函数 $F(x)=\frac{f(x)}{ e ^{n x}}$ ．

`例` 已知可导函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$ ，若对任意的 $x \in R$ ，都有 $f^{\prime}(x)-f(x)<1$ ，且 $f(0)=2022$ ，则不等式 $f(x)+1>2023 e ^x$的解集为

A．$(-\infty, 0)$
B．$(0,+\infty)$
C．$\left(-\infty, \frac{1}{e}\right)$
D．$(-\infty, 1)$

解： 构造函数 $F(x)=\frac{f(x)+1}{ e ^x}$ ，则 $F^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x) \cdot e ^x-[f(x)+1] \cdot e ^x}{ e ^{2 x}}=\frac{f^{\prime}(x)-f(x)-1}{ e ^x}$ ，因为 $f^{\prime}(x)-f(x)<1$ ，所以 $F^{\prime}(x)<0$ 恒成立，故 $F(x)=\frac{f(x)+1}{ e ^x}$ 在 $R$ 上单调递减， $f(x)+1>2023 e ^x$ 可变形为 $\frac{f(x)+1}{ e ^x}>2023$ ，又 $f(0)=2022$ ，所以 $F(0)=\frac{f(0)+1}{ e ^0}=2023$ ，所以 $F(x)>F(0)$ ，解得 $x<0$ ．

##  利用 $f(x)$ 与 $\sin x, \cos x$ 构造

`例`已知偶函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，其导函数为 $f^{\prime}(x)$ ，当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，有 $f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x<0$ 成立，则关于 $x$ 的不等式 $f(x)<2 f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x$ 的解集为

A．$\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right) \cup\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$
B．$\left(-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right)$
C．$\left(-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}\right)$
D．$\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)$

解： 因为偶函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，
所以设 $g(x)=\frac{f(x)}{\cos x}$ ，
则 $g(-x)=\frac{f(-x)}{\cos (-x)}=\frac{f(x)}{\cos x}$ ，
即 $g(x)$ 也是偶函数．
当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时，
根据题意 $g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x) \cos x+f(x) \sin x}{\cos ^2 x}<0$ ，

则 $g(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减，且为偶函数，则 $g(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, 0\right)$ 上单调递增．所以 $f(x)<2 f\left(\frac{\pi}{3}\right) \cos x

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：高考研究：利用导数研究恒(能)成立问题

下一篇：阅读：利用二阶导数判断函数的凸凹性

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)