最后更新: 2025-05-21 12:52 查看: 47 次反馈同步训练

高考研究：复数的基本运算

## 复数的基本运算
高考对复数的考察相对比较简单，掌握基本运算即可。

`例`已知复数z满足(3＋4i)·z＝5(1－i)，则z的虚部是？
解：因为 $(3+4 i ) \cdot z=5(1- i )$ ，所以 $z=\frac{5(1-i)}{3+4 i}=\frac{5(1-i)(3-4 i)}{(3+4 i)(3-4 i)}=\frac{5\left(3-7 i+4 i^2\right)}{3^2-(4 i)^2}=\frac{5(-1-7 i)}{25}=-\frac{1}{5}-\frac{7}{5} i$ ．所以 $z$ 的虚部为 $-\frac{7}{5}$ ．

`例`（多选）已知复数 $z$ 满足 $|z|=|z-1|=1$ ，且复数 $z$对应的点在第一象限，则下列结论正确的是
A．复数 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B．$\frac{1}{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$
C．$z^2=z+1$
D．复数 $z$ 的共轭复数为 $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ i

解：AB
设复数 $z=a+b i (a, b \in R )$ ．
因为 $|z|=|z-1|=1$ ，且复数 $z$ 对应的点在第一象限，
所以 $\left\{\begin{array}{l}a^2+b^2=1, \\ (a-1)^2+b^2=1, \\ a>0, b>0,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}, \\ b=\frac{\sqrt{3}}{2},\end{array}\right.$即 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．
对于 A，复数 $z$ 的虚部为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，故 A 正确；

对于 B，$\frac{1}{z}=\frac{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i }{\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i \right)\left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i \right)}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i$ ，故 B 正确；对于 C，因为 $z^2=\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i \right)^2=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i \neq z+1$ ，故 C 错误；对于 D，复数 $z$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ i，故 D 错误．

`例` 若 $z=-1+\sqrt{3} i$ ，则 $\frac{z}{z \bar{z}-1}$ 等于
A．$-1+\sqrt{3} i$
B．$-1-\sqrt{3} i$
C．$-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} i$
D．$-\frac{1}{3}-\frac{\sqrt{3}}{3} i$

解析: $\frac{z}{z \bar{z}-1}=\frac{-1+\sqrt{3} i }{(-1+\sqrt{3} i )(-1-\sqrt{3} i )-1}=\frac{-1+\sqrt{3} i }{3}=-\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3} i$ ，故选 C

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