最后更新: 2025-07-08 21:06 查看: 119 次反馈同步训练

定积分的定义

就像导数是对各种各样的＂变化率问题＂的数学抽象一样，定积分是从各种＂累积问题＂中抽象出来的数学概念．例如，曲线围成的平面图形的面积，曲面围成的几何体的体积，变速直线运动物体行进的路程，变力做功等．

## 实例 1 曲边梯形的面积 
我们知道，长为 $a$ ，宽为 $b$（ $a, b$ 为实数）的矩形面积为 $S=a b$ ．

为了解决更一般的曲边图形面积问题，我们首先讨论曲边梯形的面积．下面给出曲边梯形的定义．

考虑区间 $[a, b]$ 上的非负连续函数 $f(x)$ ，我们把由曲线 $y=f(x)$ ，直线 $x=a, x=b, y=0$ 所围成的图形称为曲边梯形（图5．1－1）．

![图片](/uploads/2025-07/8d1786.jpg)

为了求曲边梯形的面积，我们采取如下的做法．
（1）用分点

$$
a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b
$$

把区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间 $\left[x_{k-1}, x_k\right](k=1,2, \cdots, n)$（图5．1－2），则每个小区间的长度为 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ ．从而也就把曲边梯形相应地分成 $n$ 个小曲边梯形．与整个曲边梯形相比，每个小曲边梯形底边上各点的高度变化较小，可以用某一点的高度近似代替所有其他点的高度（即以不变代变），故每个小曲边梯形可以近似地看成一个矩形．

![图片](/uploads/2025-07/23bbae.jpg)
 
 （2）任取 $\xi_k \in\left[x_{k-1}, x_k\right](k=1,2, \cdots, n)$ ，则 $f\left(\xi_k\right) \Delta x$ 就是第 $k$ 个小曲边梯形面积 $A_k$ 的近似值，从而 $\sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) \Delta x$ 就是曲边梯形面积 $A=\sum_{k=1}^n A_k$ 的近似值．
（3）为了提高这种近似的精度，我们可以不断加密分点，让 $n$ 充分大，使每个小区间的长度 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ 充分小，从而 $f\left(\xi_k\right) \Delta x$ 与第 $k$ 个小曲边梯形面积 $A_k$ 相差充分小．进一步地，我们有 $\sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) \Delta x$ 与曲边梯形面积 $A=\sum_{k=1}^n A_k$ 相差充分小．让 $n$ 趋于无穷大，我们有

$$
A=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n f\left(\xi_k\right) \Delta x
$$

## 实例2 变速直线运动的路程
我们知道，对于做匀速直线运动的物体，若速度为 $v$ ，运动时间为 $t$ ，则物体运动的路程为 $s=v t$ ．现有一做变速直线运动的物体，其运动速度 $v(t)$ 是以 $t$ 为自变量的非负连续函数，运动的时间区间为 $[a, b]$ ．那么物体在 $[a, b]$ 这段时间内运动的路程是多少？

与求曲边梯形面积类似，我们依然＂以不变代变＂，把求变速直线运动的路程问题化归为求匀速直线运动的路程问题．具体地，把时间区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间，在每个小区间上，由于 $v(t)$ 的变化很小，可以认为物体近似于做匀速直线运动，从而求得物体在每个小区间上运动路程的近似值，再求和得物体在时间区间 $[a, b]$ 上运动路程的近似值，最后让 $n$ 趋于无穷大就得到路程的精确值．具体过程如下．
（1）用分点 $a=t_0<t_1<t_2<\cdots<t_{n-1}<t_n=b$ 把区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间 $\left[t_{k-1}, t_k\right](k=1,2, \cdots, n)$ ，则每个小区间的长度为 $\Delta t=\frac{b-a}{n}$ ．在每个小时间段 $\left[t_{k-1}, t_k\right]$ 上，$v(t)$ 的变化不大．
（2）任取 $\xi_k \in\left[t_{k-1}, t_k\right](k=1,2, \cdots, n)$ ，则 $v\left(\xi_k\right) \Delta t$ 就是物体在第 $k$ 个时间段 $\left[t_{k-1}, t_k\right]$ 上运动路程 $s_k$ 的近似值，从而 $\sum_{k=1}^n v\left(\xi_k\right) \Delta t$ 就是物体从时刻 $a$ 到时刻 $b$ 的运动路程 $s=\sum_{k=1}^n s_k$ 的近似值．
（3）为了提高这种近似的精度，我们可以不断加密分点，让 $n$ 充分大，使每个小区间的长度 $\Delta t=\frac{b-a}{n}$ 充分小，则 $v\left(\xi_k\right) \Delta t$ 就与物体在第 $k$ 个时间段上的运动路程 $s_k$ 充分接近．进一步地，$\sum_{k=1}^n v\left(\xi_k\right) \Delta t$ 就与物体从时刻 $a$ 到时刻 $b$ 的运动路程 $s=\sum_{k=1}^n s_k$ 充分接近．让 $n$ 趋于无穷大，我们有

##二、定积分的定义
在前面讨论的问题中，实例 1 是几何学中的面积问题，实例 2 是物理学中的运动路程问题．尽管它们来自不同的学科领域，但解决问题的数学方法是相同的．我们舍去

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