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高中数学
第十四章 *积分学初步
牛顿-莱布尼兹公式
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更新:
2025-07-08 21:06
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同步训练
牛顿-莱布尼兹公式
## 牛顿－莱布尼茨公式 由例1可以看出，计算定积分不是一件简单的事情．那么有没有更加简便、有效的方法计算定积分呢？我们一起来探究这个问题． 设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有连续的导函数，用分点 $$ a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_{n-1}<x_n=b $$ 将区间 $[a, b]$ 等分成 $n$ 个小区间 $\left[x_{k-1}, x_k\right](k=1,2, \cdots, n)$ ，则每个小区间的长度均为 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ ． 如图 5．1－4，容易得到 $f(b)-f(a)=\sum_{k=1}^n\left[f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right]$  由拉格朗日中值定理知，在每个小区间 $\left(x_{k-1}, x_k\right)$ 内，存在点 $\xi_k \in\left(x_{k-1}, x_k\right)$ $(k=1,2, \cdots, n)$ ，使得 $$ f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_k\right)\left(x_k-x_{k-1}\right)=f^{\prime}\left(\xi_k\right) \Delta x $$ 所以 $$ f(b)-f(a)=\sum_{k=1}^n\left[f\left(x_k\right)-f\left(x_{k-1}\right)\right]=\sum_{k=1}^n f^{\prime}\left(\xi_k\right) \Delta x $$ 又根据定积分的定义，得 $$ f(b)-f(a)=\lim _{n \righta
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