最后更新: 2025-05-27 21:51 查看: 44 次反馈同步训练

逼近法求和

## 逼近法求和
在上一节介绍了最简单的积分，但是实际积分要复杂的多，下面介绍逼近法求和。

`例`计算由曲线 $y=x^2, x$ 轴和直线 $x=1$ 所围平 面图形的面积(见图 3-2), 这样的图形称为**曲边梯形**.
![图片](/uploads/2022-12/image_20221230b482609.png)

解：
（1）**第一步**：将区间 $[0,1]$ 作 $n$ 等分, 分点分别为 $\frac{1}{n}, \frac{2}{n}, \cdots, \frac{n-1}{n}$, 过这些分点作平行于 $y$ 轴的直线, 把平面图形分割成 $n$ 个小窄条, 每个小窄条都是小的曲边梯形, 但是我们仍无法用初等数学的方法求得它们的面积.

（2）**第二步**：现在分别以分点的值计算 $y=x^2$ 对应的$y$值

$$
0,\left(\frac{1}{n}\right)^2,\left(\frac{2}{n}\right)^2, \cdots,\left(\frac{2}{n}\right)^2, \cdots,\left(\frac{n-1}{n}\right)^2
$$

（3）**第三步**：如果我们$n$取无穷大（表示分割的无线细小），则每个分割的题型可以近似为矩形，而矩形的低为 $\frac{1}{n}$， 矩形的高为第二步求得到值。

（4）**第四步**把以 $\frac{1}{n}$ 为底作 $n$ 个小矩形累加起来, 则可用每个小矩形的面积近似替代作为对应的小梯形的面积。 每个小矩形的面积为

$$
\Delta A_1 \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2, \Delta A_2 \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2, \ldots, \Delta A_i \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{i}{n}\right)^2, \ldots, \Delta A_n \approx \frac{1}{n} \cdot 1^2 .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230e35f31f.png)

（5）**第五步** 于是, 整个曲边梯形的面积 $A$ 的近似值为

$$
\begin{aligned}
A & =\Delta A_1+\Delta A_2+\cdots+\Delta A_i+\cdots+\Delta A_n \\
& \approx \frac{1}{n} \cdot\left(\frac{1}{n}\right)^2+\frac{1}{n} \cdot\left(\frac{2}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n} \cdot\left(\frac{i}{n}\right)^2+\cdots+\frac{1}{n} \cdot 1^2 \\
& =\frac{1}{n^3} \cdot \sum_{i=1}^n i^2=\frac{1}{n^3

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