最后更新: 2025-07-08 21:10 查看: 44 次反馈同步训练

定积分的计算

## 定积分的计算
利用牛顿－莱布尼茨公式，许多定积分的计算就变得便捷了，因为只需要知道被积函数的原函数，通过计算原函数的函数值的差，就能得到定积分的值．例如，对于第5．1节中的由曲线 $y=x^2$ ，直线 $x=a, x=b$ 以及 $x$ 轴围成的曲边梯形的面积，因为

$$
\left(\frac{1}{3} x^3\right)^{\prime}=x^2
$$

利用牛顿－莱布尼茨公式，可以直接得到曲边梯形的面积为

$$
\int_a^b x^2 d x=\left.\frac{1}{3} x^3\right|_a ^b=\frac{b^3-a^3}{3}
$$

这与我们在第5．1节中利用定积分的定义计算得到的结果是一致的，但计算过程便捷了许多．

计算定积分时，常用的方法有四种．

一、利用牛顿－莱布尼茨公式直接计算定积分

`例`计算定积分 $\int_0^1 x^m d x(m \neq-1)$ ．
解：因为 $F(x)=\frac{1}{m+1} x^{m+1}$ 是函数 $f(x)=x^m$ 的一个原函数，所以

$$
\int_0^1 x^m d x=\left.\frac{1}{m+1} x^{m+1}\right|_0 ^1=\frac{1}{m+1}
$$

`例` 计算定积分 $\int_0^\pi \sin x d x$ ．
解：因为 $(-\cos x)^{\prime}=\sin x$ ，所以

$$
\int_0^\pi \sin x d x=-\left.\cos x\right|_0 ^\pi=\cos 0-\cos \pi=2
$$

`例` 计算定积分 $\int_1^e \frac{1}{x} d x$ ．
解：因为 $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$ ，所以

$$
\int_1^e \frac{1}{x} d x=\left.\ln x\right|_1 ^e=\ln e-\ln 1=1 .
$$

## 二、利用定积分的线性性质计算定积分
前面我们讨论的是直接利用牛顿－莱布尼茨公式计算定积分，下面我们讨论两个函数进行四则运算的定积分，先来讨论两个被积函数进行加减运算的情形，有如下的运算法则：

对于常数 $\alpha, \beta$ 与 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x), g(x)$ ，有

$$
\int_a^b(\alpha f(x) \pm \beta g(x)) d x=\alpha \int_a^b f(x) d x \pm \beta \int_a^b g(x) d x .
$$

例 4 计算 $\int_a^b\left(2 \cos x-3 e ^x\right) d x$ ．
解： $\int_a^b\left(2 \cos x-3 e ^x\right) d x$

$$
\begin{aligned}
& =2 \int_a^b \cos x d x-3 \int_a^b e^x d x \\
& =\left.2 \sin x\right|_a ^b-\left.3 e^x\right|_a ^b \\
& =2(\sin b-\sin a)-3\left(e^b-e^a\right)
\end{aligned}
$$

例 5 计算 $\int_1^2\left(2 x^3+\frac{3}{x}\right) d x$ ．
解：$\quad \int_1^2\left(2 x^3+\frac{3}{x}\right) d x$

$$
\begin{aligned}
& =2 \int_1^2 x^3 d x+3 \int_1^2 \frac{1}{x} d x \\
& =\left.\frac{1}{2} x^4\right|_1 ^2+\left.3 \ln x\right|_1 ^2 \\
& =\frac{1}{2} \times(16-1)+3 \times(\ln 2-\ln 1) \\
& =\frac{15}{2}+3 \ln 2
\end{aligned}
$$

三、利用分部积分法计算定积分
前面我们讨论的是两个函数进行加减运算的定积分，下面我们讨论两个函数乘积的定积分．回忆第4．2节的定理2，我们知道两个函数乘积的导数为

$$
[f(x) g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x)
$$

对等式的两边分别积分，可以得到

$$
\int_a^b[f(x) g(x)]^{\prime} d x=\int_a^b f^{\prime}(x) g(x) d x+\int_a^b f(x) g^{\prime}(x) d x .
$$

利用牛顿－莱布尼茨公式，可以得到

$$
\int_a^b f^{\prime}(x) g(x) d x=\left.f(x) g(x)\right|_a ^b-\int_a^b f(x) g^{\prime}(x) d x .
$$

称这样的计算定积分的方法为分部积分法

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