最后更新: 2025-07-08 21:20 查看: 20 次反馈同步训练

定积分的应用

## 一、平面图形的面积．
如图 5．3－1 所示，计算由两条曲线 $y=f(x), y=g(x)(g(x) \leqslant f(x))$ 与直线 $x=$ $a, x=b$ 所围成的区域的面积．

因为这个区域的面积 $S$ 等于曲边梯形 $A B C D$ 的面积减去曲边梯形 $A B E F$ 的面积，所以

$$
S=\int_a^b[f(x)-g(x)] d x .
$$

对于更一般的平面图形，只需要把图形分割成有限块，使

![图片](/uploads/2025-07/101130.jpg)
  得每块的面积都能通过定积分进行计算即可．
  
  `例` 如图 5．3－2，计算抛物线 $y^2=2 p x$ 和 $x^2=2 p y(p>0)$ 围成的平面图形的面积．
解：解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^2=2 p x \\
x^2=2 p y
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2025-07/27fa02.jpg)
 
 得两条抛物线的交点为 $(0,0)$ 和 $(2 p, 2 p)$ ．
由（1）式可以得到所求面积

$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^{2 p}\left(\sqrt{2 p x}-\frac{1}{2 p} x^2\right) d x \\
& =\left.\left(\sqrt{2 p} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6 p} x^3\right)\right|_0 ^{2 p} \\
& =\frac{4}{3} p^2
\end{aligned}
$$

`例` 如图 5．3－3，计算由抛物线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$所围成的平面图形的面积．

![图片](/uploads/2025-07/a043f0.jpg)

解：解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^2=2 x \\
y=x-4
\end{array}\right.
$$

得抛物线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$ 的交点为 $(2,-2)$ 和 $(8,4)$ ．

$$
 \begin{aligned}
&\text { 考虑关于变量 } y \text { 的定积分，由公式（1）可以得到所求面积 }\\
&S=\int_{-2}^4\left(y+4-\frac{1}{2} y^2\right) d y=\left.\left(\frac{1}{2} y^2+4 y-\frac{1}{6} y^3\right)\right|_{-2} ^4=18
\end{aligned}
$$

## 二、空间几何体的体积
我们已经知道，用定积分的方法可以求各种平面图形的面积．下面我们来讨论用定积分的方法计算几何体的体积．

如图 5．3－4，在空间直角坐标系中，有一个由封闭曲面围成的几何体，这个几何体在 $z$ 轴上的投影是闭区间 $[a, b]$ ．用垂直于 $z$ 轴的任意平面截这个几何体，如果截得的截面面积可以表示为变量 $z$ 的函数 $S(z)$ ，并且函数 $S(z)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，那么这个几何体的体积就是定积分

$$
V=\int_a^b S(z) d z,
$$

![图片](/uploads/2025-07/826a71.jpg)

也就是说，体积是截面面积函数的定积分．
下面，我们通过几个具体的例子，理解如何用截面面积函数的定积分计算空间几何体的体积．

`例`证明：锥体体积为 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 为底面积，$h$ 为高．
证明：以雉体的顶点为原点 $O$ ，过点 $O$ 且垂直于底面的直线为 $z$ 轴建立数轴（图 5．3－5）．

![图片](/uploads/2025-07/53d412.jpg)

设过点 $z$ 且垂直于 $z$ 轴的平面截雉体所得截面的面积为 $S(z)$ ，由平面几何的知识得

$$
\frac{S(z)}{S}=\frac{z^2}{h^2}, \quad 0 \leqslant z \leqslant h .
$$

再由（2）式可以得到雉体的体积为

$$
V=\int_0^h S(z) d z=\int_0^h S \cdot \frac{z^2}{h^2} d z=\left.\frac{1}{3} S \cdot \frac{z^3}{h^2}\right|_0 ^h=\frac{1}{3} S h .
$$
 
例 3 中的雉体是一般的，可以是圆雉，也可以是棱雉．如果是圆雉，那么底面圆的面积 $S=\pi r^2$ ，因此它的体积 $V=\frac{1}{3} \pi r^2 h$ ，其中 $r$ 为底面圆的半径，$h$ 为圆雉的高．

`例` 计算椭球面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1(a, b, c>0)$ 所围成的椭球的体积．
解：如图 5．3－6，椭球在 $z$ 轴的投影为闭区间 $[-c, c]$ ，任取 $z \in[-c, c]$ ，过点 $z$作垂直于 $z$ 轴的平面，得到的截面是由椭圆

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{z^2}{c^2},
$$

![图片](/uploads/2025-07/a8a7e5.jpg)
 
 即

$$
\frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)}+\frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right)}=1
$$

所围成的．因此，利用第5．2节例8的结果，截面椭圆的面积为

$$
S(z)=\pi a b\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right) .
$$

再由（2）式可以得到椭球体的体积为

$$
\begin{aligned}
V & =\int_{-c}^c S(z) d z=2 \pi a b \int_0^c\left(1-\frac{z^2}{c^2}\right) d z \\
& =\left.2 \pi a b\left(z-\frac{z^3}{3 c^2}\right)\right|_0 ^c=\frac{4}{3} \pi a b c .
\end{aligned}
$$

特别地，如果 $a=b=c=r$ ，那么球的体积 $V=\frac{4}{3} \pi r^3$ ．这就是我们曾经学习过的球的体积公式．

## 三、定积分在物理中的应用
对于定积分在物理学中的应用，我们曾经在第5．1节中讨论过变速直线运动路程的计算问题，下面讨论变力做功、质心及相关物理量的计算问题．

变力做功的计算 由定积分的定义可以知道，如果物体在变力 $F(x)$ 的作用下做直线运动，沿着与 $F(x)$ 相同的方向从点 $a$ 移动到点 $b$ ，那么变力 $F(x)$ 所做的功为定积分 $W=\int_a^b F(x) d x$ ．我们看下面的例子．

例 5 从地面垂直向上发射质量为 $m$ 的火箭，当火箭到达距离地面的高度 $r$ 时，求地球引力所做的功．如果火箭要脱离地球引力，火箭的初速度 $v_0$ 至少应为多少？

解：设地球的半径为 $R$ ，地球的质量为 $M$ ．当火箭距离地面的高度为 $x$ 时，根据万有引力定律，火箭受地球的引力为

$$
f(x)=k \cdot \frac{M m}{(R+x)^2}
$$

其中 $k$ 为引力常数．因为当 $x=0$ 时，$f(0)=m g$ ，因此

$$
m g=k \cdot \frac{M m}{R^2},
$$

解得引力常数 $k=\frac{R^2 g}{M}$ ．把引力常数代人（1）式，得到

$$
f(x)=\frac{R^2 m g}{(R+x)^2}
$$

所以，火箭从地面到达距离地面的高度 $r$ 时，地球引力所做的功为

免费注册看余下 50%

非VIP会员每天15篇文章，开通VIP 无限制查看

上一篇：定积分的计算

下一篇：无穷区间上的积分

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)