最后更新: 2025-07-08 21:20 查看: 43 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

定积分的应用

## 一、平面图形的面积．
如图 5．3－1 所示，计算由两条曲线 $y=f(x), y=g(x)(g(x) \leqslant f(x))$ 与直线 $x=$ $a, x=b$ 所围成的区域的面积．

因为这个区域的面积 $S$ 等于曲边梯形 $A B C D$ 的面积减去曲边梯形 $A B E F$ 的面积，所以

$$
S=\int_a^b[f(x)-g(x)] d x .
$$

对于更一般的平面图形，只需要把图形分割成有限块，使

![图片](/uploads/2025-07/101130.jpg)
  得每块的面积都能通过定积分进行计算即可．
  
  `例` 如图 5．3－2，计算抛物线 $y^2=2 p x$ 和 $x^2=2 p y(p>0)$ 围成的平面图形的面积．
解：解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^2=2 p x \\
x^2=2 p y
\end{array}\right.
$$

![图片](/uploads/2025-07/27fa02.jpg)
 
 得两条抛物线的交点为 $(0,0)$ 和 $(2 p, 2 p)$ ．
由（1）式可以得到所求面积

$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^{2 p}\left(\sqrt{2 p x}-\frac{1}{2 p} x^2\right) d x \\
& =\left.\left(\sqrt{2 p} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{6 p} x^3\right)\right|_0 ^{2 p} \\
& =\frac{4}{3} p^2
\end{aligned}
$$

`例` 如图 5．3－3，计算由抛物线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$所围成的平面图形的面积．

![图片](/uploads/2025-07/a043f0.jpg)

解：解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^2=2 x \\
y=x-4
\end{array}\right.
$$

得抛物线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$ 的交点为 $(2,-2)$ 和 $(8,4)$ ．

$$
 \begin{aligned}
&\text { 考虑关于变量 } y \text { 的定积分，由公式（1）可以得到所求面积 }\\
&S=\int_{-2}^4\left(y+4-\frac{1}{2} y^2\right) d y=\left.\left(\frac{1}{2} y^2+4 y-\frac{1}{6} y^3\right)\right|_{-2} ^4=18
\end{aligned}
$$

## 二、空间几何体的体积
我们已经知道，用定积分的方法可以求各种平面图形的面积．下面我们来讨论用定积分的方法计算几何体的体积．

如图 5．3－4，在空间直角坐标系中，有一个由封闭曲面围成的几何体，这个几何体在 $z$ 轴上的投影是闭区间 $[a, b]$ ．用垂直于 $z$ 轴的任意平面截这个几何体，如果截得的截面面积可以表示为变量 $z$ 的函数 $S(z)$ ，并且函数 $S(z)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数，那么这个几何体的体积就是定积分

$$
V=\int_a^b S(z) d z,
$$

![图片](/uploads/2025-07/826a71.jpg)

也就是说，体积是截面面积函数的定积分．
下面，我们通过几个具体的例子，理解如何用截面面积函数的定积分计算空间几何体的体积．

`例`证明：锥体体积为 $V=\frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 为底面积，$h$ 为高．
证明：以雉体的顶点为原点 $O$ ，过点 $O$ 且垂直于底面的直线为 $z$ 轴建立数轴（图 5．3－5）．

![图片](/uploads/2025-07/53d412.jpg)

设过点 $z$ 且垂直于 $z$ 轴的平面截雉体所得截面的面积为 $S(z)$ ，由平面几何的知识得

$$
\frac{S(z)}{S}=\frac{z^2}{h^2}, \quad 0 \leqslant z \leqslant h .
$$

再由（2）式可以得到雉体的体积为

$$
V=\int_0^h S(z) d z=\int_0^h S \c

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