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高中数学
第十四章 *积分学初步
无穷区间上的积分
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2025-07-08 21:21
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无穷区间上的积分
无穷区间上的积分 我们在定积分中讨论的函数是定义在有限区间 $[a, b]$ 上的，那么能否将有限区间推广到无限区间呢？如果可以，应该怎么定义这种情形的积分呢？ 如果函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上有定义，并且 $\forall X \in(a,+\infty), f(x)$ 在 $[a, X]$ 上可积，则 $\forall X \in(a,+\infty), \int_a^X f(x) d x$ 都是有意义的，该积分对每个固定的 $X$ 是一个定积分．当 $X$ 越来越大时， $\int_a^X f(x) d x$ 的值也在随之变化．若当 $X \rightarrow+\infty$ 时， $\int_a^X f(x) d x$ 趋于䒳个实数，我们就把这个实数记为 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ ，即 $\int_a^{+\infty} f(x) d x=$ $\lim _{X \rightarrow+\infty} \int_a^X f(x) d x$ ．我们把 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上的无穷积分，此时称无穷积分 $\int_a^{+\infty} f(x) d x$ 收敛；如果 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \int_a^x f(x) d x$ 不存在，为
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